Question

如图所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导电导轨，间距L为0.5m，导轨左端连接一个2Ω的电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直地放在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r大小为1Ω，导轨的电阻不计，整个装置放在磁感应强度为1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，现对金属棒施加一水平向右的拉力F，使棒从静止开始向右运动．当棒的速度达到3m/s后保持拉力的功率恒为3W，从此时开始计时，即此时t=0，已知从此时直至金属棒达到稳定速度的过程中电流通过电阻R做的功为2.2J．试解答以下问题：
（1）金属棒达到的稳定速度是多少？
（2）金属棒从t=0开始直至达到稳定速度所需的时间是多少？
（3）试估算金属棒从t=0开始直至达到稳定速度的过程中通过电阻R的电量大约在什么数值范围内？

Answer 1

分析：（1）当棒的速度达到3m/s后保持拉力的功率恒为3W，此后随着速度增大，棒所受的拉力减小，合力减小，所以棒做加速度减小的加速运动，当安培力等于拉力的时候，棒做匀速运动，速度达最大，由E=BLv可求得电动势，由欧姆定律可求得电流，由F=BIL可求得稳定速度；
（2）金属棒从t=0开始直至达到稳定速度的过程，根据动能定理求出电路中产生的焦耳热，根据焦耳定律求解时间；
（3）画出从t=0开始直至达到稳定速度的过程中v-t图象，图象的“面积”等于棒的位移S，再根据感应电量表达式q=

△Φ

R+r

=

BlS

R+r

，求解电量的范围．

解答：解：（1）棒做匀速运动，速度达到最大，此时拉力等于安培力，则有：F=F_安，
而F_安=BL

BLvm

R+r

=

B2L2vm

R+r

F=

P

vm

得

P

vm

=

B2L2vm

R+r

 
解得：v_m=6m/s
（2）金属棒从t=0开始直至达到稳定速度的过程，设电路中产生的焦耳热Q_总，
则Q_总=I²（R+r）t，Q_R=I²Rt，
解得，Q_总=

R+r

R

QR=

2+1

2

×2.2J=3.3J，
根据动能定理：
  W_F-Q_总=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

解得 t=2s
（3）通过电阻R的电量q=

△Φ

R+r

=

BlS

R+r

=

1

6

S
画出的v-t图象，根据“面积”大小等于位移，得金属棒位移的最小值和最大值分别为：
  S_min=

1

2

×（3+6）×2m=9m，
  S_max=9m+

1

2

×1.2×3m=10.8m
故解得  1.5C＜q＜1.8C
答：
（1）金属棒达到的稳定速度是6m/s．
（2）金属棒从t=0开始直至达到稳定速度所需的时间是2s．
（3）估算金属棒从t=0开始直至达到稳定速度的过程中通过电阻R的电量大约在1.5C＜q＜1.8C范围内．

点评：本题关键要掌握安培力的表达式F_安=

B2L2vm

R+r

与感应电量的表达式q=

△Φ

R+r

，利用v-t图象求得位移的大约值是难点．