Question

10．某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，AB为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，下方水面上漂浮着一个半径为R铺有海绵垫的转盘，转盘轴心离平台的水平距离为L，平台边缘与转盘平面的高度差H．选手抓住悬挂器后，按动开关，在电动机的带动下从A点沿轨道做初速为零、加速度为a的匀加速直线运动．起动后2s悬挂器脱落．设人的质量为m（看作质点），人与转盘间的最大静摩擦力为μmg，重力加速度为g．且已知H=3.2m，R=0.9m．
（1）假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零，为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在什么范围？
（2）当a=2m/s²时选手恰好落到转盘的圆心上，求L=？取g=10m/s²，
（3）选手要想成功落在转盘上，可以选择的加速度范围？取g=10m/s²．

Answer 1

分析 （1）人落在圆盘边缘处不至被甩下，恰好由最大静摩擦力提供向心力，结合牛顿第二定律求出转盘角速度的范围．
（2）抓住平抛运动的水平位移和匀加速直线运动的位移等于L，结合位移公式和速度公式求出L．
（3）人的加速度a最小时落在转盘左端，a最大时落在转盘右端，根据位移时间公式列式求解．

解答 解：（1）设人落在圆盘边缘处不至被甩下，临界情况下，最大静摩擦力提供向心力．
则有：μmg=mω²R           
解得：ω=$\sqrt{\frac{μg}{R}}$
（2）匀加速过程有：x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{2}^{2}$m=4 m    
到达C点的速度为：v_c=at=2×2=4 m/s        
平抛过程有：H=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$ 
代入数据得：t₂=0.8 s  
水平位移为：x₂=v_ct₂=4×0.8 m=3.2 m         
 故 L=x₁+x₂=7.2 m          
（3）分析知a最小时落在转盘左端，a最大时落在转盘右端．
据 L-R=$\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}$+（a₁t₁•t₂）
代入数据得：7.2-0.9=$\frac{1}{2}{a}_{1}×{2}^{2}$+2a₁×0.8
代入数据解得：a₁=1.75 m/s²       
据 L+R=$\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}$+（a₁t₁•t₂）
代入数据得：7.2+0.9=$\frac{1}{2}{a}_{1}×{2}^{2}$+2a₁×0.8
解得：a₂=2.25 m/s²       
所以加速度范围为：1.75 m/s²≤a≤2.25 m/s²．
答：（1）为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘，转盘的角速度ω应限制在$\sqrt{\frac{μg}{R}}$．
（2）L是7.2 m；
（3）选手要想成功落在转盘上，可以选择的加速度范围是1.75 m/s²≤a≤2.25 m/s²．

点评 解决本题的关键理清选手的运动过程，并抓住各个过程之间的联系，如速度关系和位移关系，结合牛顿第二定律、平抛运动的分位移公式、运动学公式灵活求解．