Question

19．据媒体报道：2010年1月12日，美国宇航局用最新天文望远镜--广域红外探测器“WISE”发现一颗围绕太阳运行的小行星，代号为“2010AB78”．“WISE”观测的数据显示，该小行星与太阳的距离约等于地球与太阳的距离，但由于其轨道倾斜，所以距离地球很远，不会对地球构成威胁．已知火星围绕太阳公转的周期约为2年，假定该小行星和火星均以太阳为中心做匀速圆周运动，则火星和小行星绕太阳运行的线速度的比值约为（　　）

• A． $\sqrt{\frac{1}{2}}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\root{3}{\frac{1}{2}}$
• D． $\root{3}{2}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，根据地球与小行星轨道半径相等得出小行星的周期，根据小行星周期和火星周期之比得到它们的轨道半径之比，从而进一步得出小行星和火星绕太阳运行的线速度之比．

解答 解：万有引力等于向心力为：
$G\frac{M{m}_{地}}{{{r}_{地}}^{2}}={m}_{地}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{地}}^{2}}{r}_{地}$
$G\frac{M{m}_{火}}{{{r}_{火}}^{2}}={m}_{火}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{火}}^{2}}{r}_{火}$
$G\frac{M{m}_{小}}{{{r}_{小}}^{2}}={m}_{小}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{小}}^{2}}{r}_{小}$
根据题意得：
$\frac{{T}_{火}}{{T}_{地}}=\frac{2}{1}$
由以上关系式可得：
$\frac{{r}_{火}}{{r}_{小}}=\frac{\root{3}{4}}{1}$
T_小=1年
由$v=\frac{2πr}{T}$，得：
$\frac{{v}_{火}}{{v}_{小}}=\frac{1}{\root{3}{2}}$=$\root{3}{\frac{1}{2}}$
故C正确、ABD错误．
故选：C．

点评 本题关键根据万有引力等于向心力列式求解，卫星的周期、线速度都与轨道半径有关，通过周期比得出轨道半径比，再通过轨道半径比得出线速度之比；也可直接根据开普勒第三定律求解．