Question

如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在x＞0的空间里有沿x轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中x轴上的A点，沿着与水平方向成θ=30°角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x＜0的区域，要使小球进入x＜0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x＜0区域内另加一匀强电场。若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点，且OA=OC，设重力加速度为g，求：

（1）小球运动速率的大小。

（2）在x＜0的区域所加电场大小和方向。

（3）小球从B点运动到C点所用时间及OA的长度。[=DF]

Answer 1

（1）油滴从A运动到B的过程中，受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知：sin30°=，所以油滴的运动速率为：v=。

（2）油滴在x＜0的区域做匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供油滴做圆周运动的向心力。

所以：mg=qE′，又tan30°=，所以E′=E，方向竖直向上。

（3）如图所示，连接BC，过B作AB的垂线交x轴于O′。

因为∠θ=30°，所以在△ABO′中，∠AO′B=60°，又OA=OC，故∠OCB=θ=30°，所以∠CBO′=30°，O′C=O′B，则O′为油滴做圆周运动的圆心。设油滴做圆周运动的半径为R，周期为T，则O′C=O′B=R，且：qvB=m，R= ，T=，由于∠CO′B=120°，油滴从B运动到C的时间为t₁=T= ，又∠O′BO=30°，所以O′O=O′B=R，所以OC=R+R=R，即OA=R=，由（1）知，所以t₁=，OA=。