Question

11．在如图所示的空间内有竖直向下的有界匀强电场，有界电场的宽度为d，在匀强电场两侧区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其中左侧磁场的磁感应强度未知，右侧磁场的磁感应强度为B．现有一质量为m、电荷量为q的带电正电粒子，从电场左边界的A点以速度v₀垂直电场方向射入匀强电场中，粒子的在第一次离开电场时，速度方向与边界的夹角为45°，且粒子在左、右侧磁场中第一次运动时的轨道半径相等，求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）粒子第一次在磁场中运动时的轨迹半径；
（3）左侧磁场的感应应强度．

Answer 1

分析 （1）根据粒子进入电场后，做类平抛运动，根据平抛运动的规律，结合牛顿第二定律与运动学公式，即可求解；
（2）根据第（1）问题，求得进入磁场时的速度，结合半径公式，即可求解轨迹的半径；
（3）当粒子再次进入电场时，根据运动的合成与分解，可求得粒子第一次进入左侧磁场时的速度，最后根据半径公式，即可求解．

解答 解：（1）粒子在电场力作用下，做类平抛运动，可将此运动分解成水平方向与竖直方向，
因速度方向与边界的夹角为45°，根据牛顿第二定律与运动学公式，
则有：t=$\frac{d}{{v}_{0}}$；
v_y=v₀=at；
而a=$\frac{qE}{m}$；
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）根据速度的合成，则有：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀；
而粒子以v进入磁场时，做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示：
由洛伦兹力提供向心力，则半径为R=$\frac{\sqrt{2}{mv}_{0}}{Bq}$

（3）由于洛伦兹力对粒子不做功，则粒子仍将以原来速度进入电场，
在电场力作用下，做类斜抛运动，根据运动的合成与分解，结合运动学公式，
则有：竖直方向的速度v_y′=v_y0+at=v₀+$\frac{{v}_{0}^{2}}{d}$$\frac{d}{{v}_{0}}$=2v₀；
那么进入左侧磁场时的速度v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（2{v}_{0}）^{2}}$=$\sqrt{5}$v₀；
由于粒子在左、右侧磁场中第一次运动时的轨道半径相等，
因此则有：$\frac{m•\sqrt{5}{v}_{0}}{B′q}$=$\frac{m•\sqrt{2}{v}_{0}}{Bq}$
解得：B′=$\frac{\sqrt{10}}{2}B$
答：（1）匀强电场的场强大小$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qd}$；
（2）粒子第一次在磁场中运动时的轨迹半径$\frac{\sqrt{2}{mv}_{0}}{Bq}$；
（3）左侧磁场的感应应强度$\frac{\sqrt{10}}{2}B$．

点评 考查类平抛运动处理规律，掌握牛顿第二定律与运动学公式的应用，理解半径公式的内容，注意正确画出运动轨迹．