Question

2011年11月3日，神舟八号飞船首次成功与天宫一号实现交会对接，为中国航天第三步建设空间站做好了准备，实现了我国空间技术发展的重大跨越．若已知飞船在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为h．地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．求飞船在该圆轨道上运行时：
（1）速度v的大小和周期T．
（2）速度v与第一宇宙速度的比值．

Answer 1

分析：（1）飞船在地球上空的圆轨道上运行时，靠万有引力提供向心力，结合地球表面物体重力等于所受的万有引力，求出速度和周期的大小．
（2）第一宇宙速度是贴近地球表面做圆周运动的速度，根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度的大小，从而得出速度v与第一宇宙速度的比值．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力有：

GMm

(R+h)2

=m

v2

R+h

根据万有引力等于重力有：

GMm0

R2

=m0g
解得：v=

gR2 R+h

T=

2π(h+R)

v

=

2π(R+h)

R

R+h g

．
（2）设第一宇宙速度为v₁，
有：m

v12

R

=mg，解得：v1=

gR

．
则：

v

v1

=

R R+h

．
答：（1）速度v的大小和周期T分别为

gR2 R+h

、

2π(R+h)

R

R+h g

．
（2）速度v与第一宇宙速度的比值为

R R+h

．

点评：解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，以及掌握黄金代换式GM=gR²．