Question

设地球是一个密度均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，如果沿地球的直径挖一条隧道，将物体从此隧道一端由静止释放刚好运动到另一端（如图所示），不考虑阻力，在此过程中关于物体的运动速度v随时间t变化的关系图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

如果物体在距地心为r处（r≤R），那么这个物体只会受到以地心为球心、以r为半径的那部分球体的万有引力，
而距地心为r到R之间的物质对物体作用力的合力为零．物体掉入隧道之后，不是做自由落体运动．
设物体的质量为m，地球密度为ρ，以半径为r的那部分球体的质量为M，距地心r处的重力加速度为g，
则M=

4

3

πr³ρ，

GMm

r2

=mg，得
g=

GMm

r2

=

4

3

πρGr． ①
由于物体掉入隧道之后，r在变化，由①式可知g也在变化，且离地心越近g越小，在地心处g=0．所以物体不是做自由落体运动．
考虑到方向，有g=-

4

3

πρGr，即物体的加速度g与位移r大小成正比、方向相反，所以物体在隧道中的运动是简谐运动．
故选C．