Question

15．已知地球近地卫星的环绕周期约为1.5小时，太阳系中某行星的“近地”卫星围绕该行星运动的周期约为4.5小时，由此可知该行星的平均密度约为地球密度的（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{9}$
• C． 3倍
• D． 9倍

Answer 1

分析 由万有引力提供圆周运动的向心力知，只要知道近地卫星绕地球做圆周运动的周期就可以估算出地球的密度，再根据行星与地球的质量关系和半径关系直接可得行星密度与地球密度之间的关系，从而求解即可．

解答 解：对地球的近地卫星，有：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
其中：M=$ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$
联立解得：
$ρ{T}^{2}=\frac{3π}{G}$
同理对于行星的卫星，也有$ρ{T}^{2}=\frac{3π}{G}$结论；
故${ρ_地}T_地^2={ρ_行}T_行^2$
解得：$\frac{ρ_行}{ρ_地}=（\frac{{T_地^{\;}}}{{T_行^{\;}}}{）^2}=\frac{1}{9}$
故选：B

点评 根据近地卫星的向心力由万有引力提供，再根据质量和体积及密度的关系可知，地球的平均密度$ρ=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，从而可以算出地球的质量，再根根据行星质量与体积与地球的关系可以估算出行星的密度．熟练掌握万有引力提供向心力的表达式，是解决本题的关键．