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2.如图所示,光滑水平桌面上固定两平行导轨CD、EF,“?”形薄导轨槽与平行导轨之间的接触部分是粗糙的,图为俯视图,两导轨足够长.一个木质滑块(阴影部分)放置在“?”形槽内,滑块左侧面和“?”形槽的左半部均是半径为r的半圆柱形,滑块可在“?”形槽的内侧无摩擦的滑动.现有一可视为质点的金属小球以水平初速度v冲向静止的滑块,从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入,从另一侧飞出后进入静止的“?”槽内,“?”槽没有发生滑动.已知金属小球的质量为m,木质滑块的质量为km,k>l.求:
(1)当金属小球第一次经过木质滑块上的半圆柱形凹槽的最右端A点时,滑块的速度大小;
(2)当金属小球第一次经过“?”形槽最左端B点时,“?”形槽与平行导轨间的摩擦力大小;
(3)若k=9,则滑块最终的速度大小.

分析 (1)到达A点,两物体水平方向动量守恒且水平速度相等,根据动量守恒定律列式即可求解;
(2)球与滑块从接触到分离的过程中动量守恒,机械能也守恒,根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出小球速度,此后球以速度v2进入左侧半圆轨道,做匀速圆周运动,在B端由摩擦力提供向心力,根据向心力公式列式求解;
(3)将k=9带入上一问可以求出小球和滑块的速度,此后根据动量守恒定律和机械能守恒定律求解即可.

解答 解:(1)到达A点,两物体水平方向动量守恒且水平速度相等,根据动量守恒定律得:
mv=(m+km)v
解得:${v}_{共}=\frac{v}{1+k}$
(2)球与滑块从接触到分离,根据动量守恒定律得:mv=mv1+kmv2
根据机械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}$②,
此后球以速度v2进入左侧半圆轨道,做匀速圆周运动,显然到达B点对“?”形槽水平方向作用力最大,f=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$③
由①②③得:f=$\frac{m{v}^{2}(k-1)^{2}}{r(k+1)^{2}}$
(3)k=9带入①②得速度大小:小球${v}_{1}=\frac{4}{5}v$,滑块${v}_{2}=\frac{1}{5}v$,
此后根据动量守恒定律得:mv1+kmv2=mv3+kmv4
根据机械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{4}}^{2}$⑤
k=9带入④⑤得速度大小:${v}_{3}=\frac{7}{25}v$,${v}_{4}=\frac{8}{25}v$
则小球的速度小于滑块的速度,所以滑块最终的速度大小为${v}_{4}=\frac{8}{25}v$.
答:(1)当金属小球第一次经过木质滑块上的半圆柱形凹槽的最右端A点时,滑块的速度大小为$\frac{v}{1+k}$;
(2)当金属小球第一次经过“?”形槽最左端B点时,“?”形槽与平行导轨间的摩擦力大小为$\frac{m{v}^{2}{(k-1)}^{2}}{r{(k+1)}^{2}}$;
(3)若k=9,则滑块最终的速度大小为$\frac{8}{25}v$.

点评 本题考查了求速度问题,分析清楚运动过程,应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题,难度适中.

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