如图所示.一长L=4.5m.质量m1=1kg的长木板静止在水平面上.与地面间的动摩擦因数μ1=0.1．长木板B端距光滑水平轨道CD的C端距离S=7m.长木板的上表面与CD面等高．一小滑块以v0=9m/s的初速度滑上长木板的A端后长木板开始运动．小滑块质量m2=2kg.与长木板之间的动摩擦因数μ2=0.4.长木板运动到C处时即被半圆粘连．水平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

如图所示，一长L=4.5m、质量m₁=1kg的长木板静止在水平面上，与地面间的动摩擦因数μ₁=0.1．长木板B端距光滑水平轨道CD的C端距离S=7m，长木板的上表面与CD面等高．一小滑块以v₀=9m/s的初速度滑上长木板的A端后长木板开始运动．小滑块质量m₂=2kg，与长木板之间的动摩擦因数μ₂=0.4，长木板运动到C处时即被半圆粘连．水平轨道CD右侧有一竖直光滑圆形轨道在D点与水平轨道平滑连接，圆心为O，半径R=0.4m．一轻质弹簧一端固定在O点的轴上，一端拴着一个质量与小滑块相等的小球，弹簧的原长为l₀=0.5m，劲度系数k=100N/m，不计小滑块和小球的大小，取重力加速度的大小g=10m/s²．求：
（1）小滑块刚滑上长木板时，长木板的加速度大小a₁和小滑块的加速度大小a₂；
（2）长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度v_t；
（3）小滑块与小球在D点发生弹性碰撞后，小球随即沿圆弧轨道运动，通过分析可知小球到达P点时离开圆轨道，求P、Q连线与竖直方向夹角θ的余弦值．

分析（1）根据受力分析分别求2水平方向长木板和小滑块受到的作用力，根据牛顿第二定律求出加速度的大小；
（2）根据计算判定未到达C时木板与滑块的速度已大小相等，并一起匀减速运动至C点，根据运动规律求解到达C时的速度大小；
（3）根据动量守恒求得碰撞后小球的速度，再根据机械能守恒和合力提供圆周运动向心力求解到达P点时离开圆轨道时PQ连线与竖直方向的夹角的余弦．

解答解：（1）由题意知滑块带动长木板滑动，先以滑块为研究对象，长木板对滑块的摩擦力使滑块产生加速度，故有：
μ₂m₂g=m₂a₂
可得滑块的加速度为：
${a}_{2}={μ}_{2}g=0.4×10m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$
长木板在滑块和地面滑动摩擦力共同作用下产生加速度有：
${a}_{1}=\frac{{μ}_{2}{m}_{2}g-{μ}_{1}（{m}_{1}+{m}_{2}）g}{{m}_{1}}=\frac{0.4×2×10-0.1（1+2）×10}{1}m/{s}^{2}$=5m/s²
（2）设滑块和木板达到共同速度v₁时间为t
则v₁=a₁t
v₁=v₀-a₂t
代入数据解得$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{9}{5+4}s=1s$
v₁=5×1m/s=5m/s
此过程中长木板的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×5×{1}^{2}m＜S$
小滑块的位移为：${x}_{2}=\frac{{v}_{1}+{v}_{0}}{2}=\frac{5+9}{2}m/s=7m/s$
滑块与木板的位移差为：△x=x₂-x₁=7-2.5m=4.5m
因为△x=L，所以滑块刚好滑至长木板的右端时，两者具有共同的速度，经后长木板与滑块一起做匀减速运动
加速度为：${a}_{3}=-{μ}_{1}g=-0.1×10m/{s}^{2}=-1m/{s}^{2}$，因为|a₃|＜|a₂|，所以滑块和长木板一起减速，设滑行到C处的速度为v_C，
根据速度位移关系有：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}+2{a}_{3}（s-{x}_{1}）}=\sqrt{{5}^{2}+2×（-1）（7-2.5）}=4m/s$
即长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度v_t为4m/s；
（3）小滑块和小球质量相同，在D处弹性碰撞后，两球交换速度，小球以v_C=4m/s沿圆弧轨道向上运动，
设小球离开轨道时的速度为v
由机械能守恒有：$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}={m}_{2}g（R+Rcosθ）$…①
根据牛顿第二定律有：${m}_{2}gcosθ-k（{l}_{0}-R）={m}_{2}\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②式解得：cos$θ=\frac{5}{6}$
答：（1）小滑块刚滑上长木板时，长木板的加速度大小a₁为5m/s²小滑块的加速度大小a₂为4m/s²
（2）长木板与水平轨道C端发生粘连前瞬间的速度v_t为4m/s；
（3）小滑块与小球在D点发生弹性碰撞后，小球随即沿圆弧轨道运动，通过分析可知小球到达P点时离开圆轨道，P、Q连线与竖直方向夹角θ的余弦值为$\frac{5}{6}$．

点评运用整体法和隔离法分析物体运动时的受力由牛顿第二定律求得物体运动的加速度，根据运动学规律是正确解题的关键．

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B．

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C．

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D．

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