Question

如图所示，BCD是光滑绝缘的、竖直固定的半径r=2.0m的圆轨道的一部分，CD为竖直直径，仅在BC间有方向竖直向下、高度足够高的匀强电场E，∠BOC=θ=53°．当一质量m=0.5kg的带电小球（可看成质点）P从距水平面AB高为h的地方以v₀=7.2m/s的初速度水平抛出恰能无碰撞的从B点进入圆轨道，并从D点离开圆轨道，取g=10m/s²．已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）试求：小球从B点进入电场时的速度大小v_B；
（2）若小球沿BC轨道的运动是匀速圆周运动．试问：
①小球刚到达D点时，小球对轨道的压力？
②小球离开D点再经多长的时间到达水平面AB？

Answer 1

设带电小球所带电量为q，小球到达B点的速度为V_B，小球刚到达D点时，小球的速度为v_D，轨道对小球的压力为F，匀强电场的宽度为d，带电小球过D点进入有界电场的时间为t₁；从D点经过电场后，平抛运动的时间为t₂，小球离开D点到达水平面AB的时间为t．
（1）、带电小球水平抛出恰能无碰撞的从B点进入圆轨道，即带电小球在B点的速度与OB垂直，由平抛运动在B点的速度分解公式可得：
V_B=

v0

cos530

=

7.2m/s

0.6

=12m/s…①
（2）、小球沿BC轨道的运动是匀速圆周运动，在B到C中重力和电场力是一对平衡力，B到C过程，无力做功．
以B到D为研究过程，弹力不做功，无摩擦力，
由动能定理得：-mg2r=

1

2

mv_D² -

1

2

mv_B²…②
以带电小球在D点为研究对象，有牛顿第二定律得：
mg+F=

mv 2D

r

…③
联立①②③解之得：F=11N
根据牛顿第三定律得：小球对轨道的压力为11N，方向竖直向上．
通过D点后，在有界电场的位移，有几何关系得：d=rsin53°…④
过D点在有界匀强电场的时间为t₁=

d

vD

…⑤
带电小球通过匀强电场后做平抛运动，平抛运动的高度有几何关系得：
h_DA=2r-（r-rcos53°）…⑥
根据平抛运动竖直方向上的位移公式：h_DA=

1

2

gt₂² …⑦
小球离开D点再到达水平面AB的总时间为：t=t₁+t₂…⑧
联立①②④⑤⑥⑦⑧解之得：t=1s
答：（1）小球从B点进入电场时的速度大小为12m/s．
（2）①小球刚到达D点时，小球对轨道的压力为11N，方向竖直向上
②小球离开D点再经1s到达水平面AB．