Question

（2006?宿迁一模）如图2所示是游乐场中过山车的实物图片，图1是过山车的模型图．在模型图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=1/24，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．问：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

分析：（1）小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过A点的速度．由几何知识求出P、Q间的距离S_PQ，运用动能定理研究小球从P到A的过程，求解P点的初速度．
（2）首先根据小车在P点的初速度10m/s，与第一问中v₀比较，分析小车能否安全通过圆弧轨道O₁．若小车恰能通过B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程，求出小车通过B点的临界速度，根据动能定理求出小车在P点的临界速度，再确定小车能否安全通过两个圆形轨道．

解答：解：
（1）设小车经过A点时的临界速度为v₁，则有
mg=

m v 2 1

R1

设Q点与P点高度差为h₁，PQ间距离为L₁，
L1=

R1(1+cosα)

sinα

P到A对小车，由动能定理得：
-(μmgcosα)L1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 01

解得v₀₁=4m/s
（2）Z点与P点高度差为h₂，PZ间距离为L₂
L2=

R2(1+cosα)

sinα

小车能安全通过两个圆形轨道的临界条件是在B点速度为v₂且在B点时有：mg=

m v 2 2

R2

设P点的初速度为：v₀₂
P点到B点的过程，由动能定理得：
-(μmgcosα)L2=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 02

解得：v₀₂=8m/s…（2分）
可知v₀₂=8m/s＜10m/s，能安全通过．
答：1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为4m/s；
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能安全通过两个圆形轨道．

点评：对于物体在竖直平面内光滑圆轨道最高点的临界速度v=

gR

，要在理解的基础上加强记忆，圆周运动往往与动能定理、机械能守恒等进行综合．本题难点在于运用几何知识求距离．中等难度．