Question

2．用折射率为$\sqrt{2}$的透明物质做成内外半径分别为a、b的空心球壳，且b＞a．有一束平行光线射向此球，若不考虑透明物质的吸收和外表面的反射．那么：
（1）如果球壳的内表面涂有能完全吸收光的物质，则能被球壳的内表面吸收的光束，在射入外表面前的横截面积为多少？
（2）如果球壳的内表面不涂吸光物质，则能射入内表面的光束，在射进外表面前的横截面积为多少？

Answer 1

分析 （1）作出经第一次折射后与空心球内壳相切的光线，由几何知识求出折射角的正弦，根据折射定律，求出入射角的正弦，由几何知识求出此平行光束在入射前的横截面积．平行入射光束中的这部分光的横截面积．
（2）由题意可得出能从球面射出光线的边界光线的光路图；由几何关系确定折射角，则可求得折射角，由几何关系即可求得入射光束的横截面积．

解答 解：（1）如图，若光线经球壳折射后恰与球壳的内表面相切，则被吸收的光束进入球壳前的横截面积 S=πR²…①
由折射定律有 sini=nsinr…②
由数学知识有 sini=$\frac{R}{b}$…③
 sinr=$\frac{a}{b}$…④
将③④代入②得：R=na
若a＜$\frac{b}{n}$，即a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b时，S=2πa²…⑤
若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b时，进入球壳的光线全部被吸收，此时，S=πb²．
（2）如果球壳的内表面不涂吸光物质，若使光线恰能进入内表面，必须让射入内表面的折射角为90°，即恰好发生全反射．如下图．
由折射定律，进入第一表面时有：n=$\frac{sini}{sinr}$
恰折射进入第二表面时，则有：$\frac{1}{sinC}$=n
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinr}$=$\frac{b}{sin（180°-C）}$
联立解得：sini=$\frac{a}{b}$
射进外表面前的横截面积为：S=π（bsini）²=πa²；
答：（1）能被球壳的内表面吸收的光束，在射入外表面前的横截面积为2πa²或πb²．
（2）能射入内表面的光束，在射进外表面前的横截面积为πa²．

点评 解决本题的关键作出临界光线，根据光路图，通过折射定律和几何关系进行研究．