Question

5．在地面上方某处的真空室里存在着水平方向的匀强电场，以水平向右和竖直向上为x轴、y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系．一质量为m、带电荷量为+q的微粒从点P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$l，0）由静止释放后沿直线PQ运动．当微粒到达点Q（0，-l）的瞬间，撤去电场，同时加上一个垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度的大小B=$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$，该磁场有理想的下边界，其他方向范围无限大．已知重力加速度为g．求：
（1）匀强电场的场强E的大小；
（2）撤去电场加上磁场的瞬间，微粒所受合外力的大小和方向；
（3）欲使微粒不从磁场下边界穿出，该磁场下边界的y轴坐标值应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）微粒在电场中受到电场力和重力，沿PQ方向运动，可知微粒所受的合力必定沿PQ方向，可知电场力方向水平向左，作出力的合成图，求解场强大小．
（2）微粒到达Q点的速度v可分解为水平分速度为v₁和竖直分速度为v₂．微粒在电场中竖直方向的分运动是自由落体运动，由下落高度可求出v₂，由速度的分解，求出v₁．撤去电场加上磁场的瞬间，由F=qvB分别求出两个分速度所对应的洛伦兹力，再合成求解微粒的合力大小和方向．
（3）根据微粒的受力情况，运用运动的分解法研究：微粒的运动可以看作水平面内的匀速直线运动与竖直面内的匀速圆周运动的合成，能否穿出下边界取决于竖直面内的匀速圆周运动，当微粒的轨迹刚好与下边界相切时，得到临界的半径，即可求出该磁场下边界的y轴坐标值应满足的条件．

解答 解：（1）由于微粒沿PQ方向运动，可知微粒所受的合力沿PQ方向，可得：
qE=mgcotα
由题意得：α=60°
解之得：E=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
（2）微粒到达Q点的速度v可分解为水平分速度为v₁和竖直分速度为v₂．
根据竖直方向上自由落体运动规律有：
v₂²=2gl
则有：v₂=$\sqrt{2gl}$
v₁=v₂tan30°=$\sqrt{\frac{2}{3}gl}$
对于水平分速度v₁，其所对应的洛伦兹力大小为f₁，方向竖直向上，则有：
f₁=qv₁B=q•$\sqrt{\frac{2}{3}gl}$•$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{3g}{2l}}$=mg
即与重力恰好平衡．
对于竖直分速度v₂，其所对应的洛伦兹力大小为f₂，方向水平向左
此力为微粒所受的合力大小为：F=f₂=qv₂B=q•$\sqrt{2gl}$•$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$=$\sqrt{3}$mg，方向沿水平向左．
（3）由（2）可知，微粒的运动可以看作水平面内的匀速直线运动与竖直面内的匀速圆周运动的合成．
能否穿出下边界取决于竖直面内的匀速圆周运动，则有：
qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l
所以欲使微粒不从其下边界穿出，磁场下边界的y坐标值应满足：y≤-（r+l）=-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1）l
答：（1）匀强电场的场强E的大小是$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）撤去电场加上磁场的瞬间，微粒所受合外力的大小为$\sqrt{3}$mg，方向水平向左；
（3）欲使微粒不从磁场下边界穿出，该磁场下边界的y轴坐标值应满足的条件是y≤-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1）l．

点评 本题中微粒在电场中做直线运动，抓住质点做直线运动的条件：合力与速度共线分析并求解场强的大小．加上磁场后，运用分解的方法研究洛伦兹力，此法不常用，要尝试运用．