Question

如图所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．求：
（1）球B在最高点时，杆对水平轴的作用力大小；
（2）球B转到最低点时，球A和球B对杆的作用力分别是多大？方向如何？

Answer 1

分析：（1）抓住B球在最高点对杆子的作用力为零，结合牛顿第二定律求出B球的速度，根据A、B角速度相等，得出A、B的关系，从而对A分析，根据牛顿第二定律求出杆子对A的作用力大小，得出杆对水平轴的作用力大小．
（2）根据系统机械能守恒定律得出A、B的速度，结合牛顿第二定律求出作用力的大小和方向．

解答：解：（1）球B在最高点时的速度为v₀，有mg=m

v02

2l

，
解得v0=

2gl

．
因为A、B两球的角速度相等，根据v=rω知，此处球A的速度为

1

2

v0=

1

2

2gl

．
根据牛顿第二定律得，FA-mg=m

( v0 2 )2

l

，
解得F_A=1.5mg．
A对杆的作用力为1.5mg．
水平轴对杆的作用力与A球对杆的作用力平衡，所以F=1.5mg．
（2）根据系统机械能守恒定律得，mg?2l=

1

2

mvB2+

1

2

mvA2-

1

2

mv02-

1

2

m(

v0

2

)2
又v_B=2v_A
解得v_A=

13gl 10

，则vB=

26gl 5

根据牛顿第二定律得，对A，FA′+mg=m

vA2

L

，
解得FA′=

3

10

mg，方向向下．
所以球A对杆的作用力大小为

3

10

mg，方向向上．
对B，FB′-mg=m

vB2

2l

，
解得FB′=

18mg

5

，方向向上．
所以球B对杆的作用力大小为

18mg

5

，方向向下．
答：（1）球B在最高点时，杆对水平轴的作用力大小为1.5mg．
（2）球A对杆的作用力大小为

3

10

mg，方向向上，球B对杆的作用力大小为

18mg

5

，方向向下．

点评：本题中两个球组成的系统内部动能与重力势能相互转化，机械能守恒，同时两球角速度相等，线速度之比等于转动半径之比，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律联立列式求解．