Question

图为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g.求：

1.质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v1；

2. 弹簧压缩到0.5R时的弹性势能Ep；

3. 已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在m到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

 

Answer 1

 

1.

2.3mgR         

3.πR2(或8.25πR2)

解析:

(1)质量为m的鱼饵到在管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，则

mg＝m        ①………………（1分）

由①式解得v1＝     ②…………（1分）

(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守恒定律有

Ep＝mg(1.5R＋R)＋mv    ③…………（2分）

由②③式解得

Ep＝3mgR          ④…………（1分）

(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为m的鱼饵离开管口后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO′的水平距离为x1，由平抛运动规律有

4．5R＝gt2        ⑤…………（1分）

x1＝v1t＋R      ⑥…………（1分）

由⑤⑥式解得x1＝4R     ⑦…………（1分）

当鱼饵的质量为m时，设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律有

Ep＝mg(1.5R＋R)＋v      ⑧…………（2分）

由④⑧式解得v2＝2      ⑨…………（1分）

质量为m的鱼饵落到水面上时，设离OO′的水平距离为x2，则

x2＝v2t＋R     ⑩…………（1分）

由⑤⑨⑩式解得x2＝7R …………（2分）

鱼饵能够落到水面的最大面积S

S＝(πx－πx)＝πR2(或8.25πR2)