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【题目】如图所示,虚线小方框是由个电容器联成的有限网络;虚线大方框是并联的两个相同的无限网络,此无限网络的结构是:从左到中间,每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连,直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器,其极板面积为,极板间距为)。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接,电池电动势恒定、大小为。忽略电容器的边缘效应,静电力常量已知。

1)若将虚线小方框中标有的电容器的右极板缓慢地向右拉动,使其两极板的距离变为2d,求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。

2)在电容器a两极板的距离变为后,再将一块与电容器的极板形状相同、面积也为、带电荷量为)的金属薄板沿平行于的极板方向全部插入到电容器中,使金属薄板距电容器左极板的距离为。求此时电容器的左极板所带的电荷量。

【答案】1 2

【解析】

1)虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联,其电路的等效电容满足下式

式中

虚线大方框中无限网络的等效电容满足下式

整个电容网络的等效电容为

等效电容器带的电量(即与电池正极连接的电容器极板上电量之和)

当电容器a两极板的距离变为2d后,2n个平行板电容器联成的网络的等效电容满足下式

由此得

整个电容网络的等效电容为

整个电容网络的等效电容器带的电荷量为

在电容器a两极板的距离由d变为2d后,等效电容器所带电荷量的改变为

电容器储能变化为

在此过程中,电池所做的功为

外力所做的功为

2)设金属薄板插入到电容器a后,a的左极板所带电荷量为,金属薄板左侧带电荷量为,右侧带电荷量为a的右极板带电荷量为,与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同,所以有

由(2)式和上式得

上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和,也是虚线大方框中无限网络的等效电容所带电荷量(即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和).

整个电容网络两端的电压等于电池的电动势,即

将②、⑤和式代入式得电容器a左极板带电荷量

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.

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