Question

如图所示，在y轴上A点沿平行x轴正方向以v₀发射一个带正电的粒子，在该方向上距A点3R处的B点为圆心存在一个半径为R的圆形有界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，当粒子通过磁场后打到x轴上的C点，且速度方向与x轴正向成60°角斜向下，已知带电粒子的电量为q，质量为m，粒子的重力忽略不计，O点到A点的距离为2

3

R．求：
（1）该磁场的磁感应强度B的大小
（2）若撤掉磁场，在该平面内加上一个与y轴平行的有界匀强电场，粒子仍按原方向入射，当粒子进入电场后一直在电场力的作用下打到x轴上的C点且速度方向仍与x轴正向成60°角斜向下，则该电场的左边界与y轴的距离为多少？
（3）若撤掉电场，在该平面内加上一个与（1）问磁感应强度大小相同的矩形有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，粒子仍按原方向入射，通过该磁场后打到x轴上的C点且速度方向仍与x轴正向成60°角斜向下，则所加矩形磁场的最小面积为多少？

Answer 1

分析：（1）根据带电粒子在磁场中运动时，洛仑兹力提供向心力即可求得磁感应强度；
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，其速度方向的反向延长线过B点，由平抛知识可得速度的方向延长线平分水平位移；
（3）由左手定则可知，粒子进入磁场后向上偏转，并最终沿BC的方向离开磁场，以入射方向和出射方向为切线画圆，做出粒子的运动轨迹，然后根据几何关系求得结果．

解答：解：（1）带电粒子离开磁场时，速度偏转60°角，轨迹如图1．
由几何关系可得：r=

3

R
根据：Bqv0=

m v 2 0

r

求得：B=

3 mv0

3qR

（2）粒子做类平抛运动以60°角打到C点，其速度方向的反向延长线过B点，由平抛知识可得速度的方向延长线平分水平位移．如图2所示．
由几何知识求出其水平位移的一半．
BD=2

3

Rtan30°=2R
所以电场的左边的边界到B的距离是2R，因此电场的左边到y轴的距离为R．
（3）由左手定则可知，粒子进入磁场后向上偏转，并最终沿BC的方向离开磁场，由于磁场的磁感应强度与（1）相同，所以粒子运动的半径不变，以入射方向和出射方向为切线画圆，则为粒子的运动轨迹，如图所示．切点E、F分别为入射点和出射得，即为磁场的两个边界点，则矩形的最小面积应满足有三条边与圆轨迹相切，第四条边过EF 如图．
     由几何知识可得，矩形边长为a：a=2r=2

3

R
矩形短边为b：b=r+rcos30°=

2 3 +3

2

R
所以矩形的最小面积为：Smin=a?b=(6+3

3

)R2
答：（1）该磁场的磁感应强度B=

3 mv0

3qR

；
（2）若在该平面内加上一个与y轴平行的有界匀强电场该电场的左边界与y轴的距离为2R；
（3）若加上一个与（1）问磁感应强度大小相同的矩形有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，则所加矩形磁场的最小面积为Smin=a?b=(6+3

3

)R2．

点评：本题主要考查了带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的问题，知道向心力由洛伦兹力提供，学会利用几何关系去求运动；
带电粒子在电场中做类平抛运动，其速度方向的反向延长线过B点，由平抛知识可得速度的方向延长线平分水平位移．