Question

15．一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R₁，连接成闭合回路，线圈的半径为r，线圈处于垂直线圈平面向里的正方形匀强磁场中，此匀强磁场的边长为2r，磁感应强度B随时间t变化的关系象如图所示，已知t₁的磁感应强度为B₁，导线的电阻不计，求：

（1）$\frac{{t}_{1}}{2}$时刻ab两点的电势差大小？
（2）0至t₂时间内通过R₁的电荷量？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合闭合电路欧姆定律，即可求解ab两点的电势差大小，再由楞次定律来确定电势差的正负；
（2）根据电量表达式q=It，结合以上分析，从而即可求解．

解答 解：（1）法拉第电磁感应定律，则有：E=$n\frac{△B}{△t}π{r}^{2}$=n$\frac{{B}_{1}}{{t}_{1}}$πr²
由闭合电路欧姆定律，得：I=$\frac{E}{R+2R}$
因此$\frac{{t}_{1}}{2}$时刻ab两点的电势差大小U_ab=IR₁=$\frac{n\frac{{B}_{1}}{{t}_{1}}π{r}^{2}}{3R}×2R$=$\frac{2nπ{r}^{2}{B}_{1}}{3{t}_{1}}$；
根据楞次定律可知，线圈中感应电流逆时针方向，则ab两点的电势差大于零，
（2）由图象可知，t₁至t₂时间内磁场不变，则线圈中没有感应电流，则不会有电量通过电阻R₁的；
那么，根据电量表达式q=It=$\frac{E}{R+2R}$×t₁=$\frac{n\frac{{B}_{1}}{{t}_{1}}π{r}^{2}}{3R}×{t}_{1}$=$\frac{nπ{r}^{2}{B}_{1}}{3R}$，
答：（1）$\frac{{t}_{1}}{2}$时刻ab两点的电势差大小$\frac{2nπ{r}^{2}{B}_{1}}{3{t}_{1}}$；
（2）0至t₂时间内通过R₁的电荷量$\frac{nπ{r}^{2}{B}_{1}}{3R}$．

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的应用，掌握楞次定律的内容，注意求电量的表达式．