Question

2．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，它们绕土星的运动均可视为匀速圆周运动．其中有两个岩石颗粒A、B与土星中心的距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r　_B=1.2×10⁵km，忽略所有岩石颗粒间的相互作用．
（1）求A和B的线速度之比$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$．
（2）求A和B的周期之比$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$．
（3）假设A、B在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，A的周期为T₀，求它们从相距最远到相距最近所需要的最短时间．

Answer 1

分析 （1）岩石颗粒绕土星做圆周运动的向心力来源于土星的万有引力，由牛顿第二定律和万有引力定律列式，得到线速度的表达式，即可求解线速度之比．
（2）由圆周运动的基本规律求周期之比．
（3）A、B绕土星做匀速圆周运动，当B转过的角度与A转过的角度之差等于π时，卫星相距最近．

解答 解：（1）设土星质量为M，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，由牛顿第二定律和万有引力定律：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
其中有两个岩石颗粒A、B与土星中心的距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r　_B=1.2×10⁵km，
解得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：T=$\frac{2πr}{v}$
r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵km，$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$
（3）A、B绕土星做匀速圆周运动，当B转过的角度与A转过的角度之差等于π时，卫星相距最近．
$\frac{2π}{{T}_{0}}$×t-$\frac{2π}{\frac{3{\sqrt{6}T}_{0}}{4}}$×t=π
t=$\frac{3（9+2\sqrt{6}{）T}_{0}}{38}$
答：（1）A和B的线速度之比$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）A和B的周期之比$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．
（3）它们从相距最远到相距最近所需要的最短时间是$\frac{3（9+2\sqrt{6}{）T}_{0}}{38}$．

点评 此题是卫星类型，抓住万有引力等于向心力及圆周运动的基本规律，即可进行求解．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．