Question

如图所示，在直角坐标系xOy内，有一质量为m，电荷量为-q的粒子A从坐标为（0，L）的点沿x 轴正方向以初速度?0射出，粒子重力忽略不计，现要求该粒子能通过点P（a，-b），可通过在粒子运动的空间范围内加适当的“场”来实现．
（1）若只在整个I、Ⅳ象限内加沿y轴正方向的匀强电场，使粒子在电场中做轨迹为抛物线的运动，并能到达P点，求匀强电场的电场强度E的大小；
（2）若只在整个第I象限内加沿y轴正方向的匀强电场，粒子先在第I象限内做轨迹为抛物线的运动，进入第Ⅳ象限内做匀速直线运动，也能使粒子运动到达P点．求电场强度E的大小；
（3）若只在y轴上某点固定一带正电的点电荷，使粒子在点电荷产生的电场中作匀速圆周运动，并能到达P点，设静电力常量为k．求点电荷的电量Q的大小．

Answer 1

分析：分析带电粒子不同情境中的受力和运动情况，是解决问题的首要前提，明确运动中遵循什么规律是解题的关键，如（1）带电粒子在匀强电场中做雷平抛运动，（2）中带电粒子先在第I象限内做平抛运动，进入第Ⅳ象限内做匀速直线运动，（3）带电粒子做圆周运动，利用圆周运动的动力学方程即可求解．

解答：解：（1）带电粒子在匀强电场中只受电场力且与初速度垂直，故粒子做类平抛运动，如图（1），设经t₁运动到P点，场强为E₁，由平抛运动得：
a=υ₀t…①
L+b=

1

2

qE1

m

t²…②
联立①②解得：E=

2(L+b)m υ 2 0

qa2

（2）带电粒子先在第I象限内做平抛运动，进入第Ⅳ象限内做匀速直线运动，如图（2），设粒子在第Ⅰ象限运动的时间为t₂，场强为E₂，经过x轴的位置到坐标原点的距离为d，速度方向与x轴正方向的夹角为θ，则有：
d=υ₀t_2…③
L=

1

2

qE2

m

t

2 2

…④
由几何关系得：
tanθ=

qE m t

υ0

=

b

a-d

…⑤
联立③④⑤解得：E₂=

mv 2 0 (2L+b)2

2qLa2

（3）设粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R，轨迹如图（3）．则有几何关系得：
R²=a²+[（L+b）-R]^2…⑥
由圆周运动的动力学方程得：
k

Qq

R2

=m

υ 2 0

R

…⑦
联立⑥⑦解得电量为：Q=

m υ 2 0

kq

?

a2+(L+b)2

2(L+b)

答：（1）若只在整个I、Ⅳ象限内加沿y轴正方向的匀强电场，使粒子在电场中做轨迹为抛物线的运动，并能到达P点，求匀强电场的电场强度E的大小：E=

2(L+b)m υ 2 0

qa2

；
（2）若只在整个第I象限内加沿y轴正方向的匀强电场，粒子先在第I象限内做轨迹为抛物线的运动，进入第Ⅳ象限内做匀速直线运动，也能使粒子运动到达P点．求电场强度E的大小E₂=

mv 2 0 (2L+b)2

2qLa2

；
（3）若只在y轴上某点固定一带正电的点电荷，使粒子在点电荷产生的电场中作匀速圆周运动，并能到达P点，设静电力常量为k．求点电荷的电量Q=

m υ 2 0

kq

?

a2+(L+b)2

2(L+b)

．

点评：分析带电粒子不同情境中的受力和运动情况，是解决问题的首要前提，明确运动中遵循什么规律是解题的关键．