Question

如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B点，C点是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D点与圆心O点等高，圆弧轨道半径R＝1.0 m，现在一个质量为m＝0.2 kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6 m，小物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5.取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s²。求：
 
(1)小物体第一次通过C点时轨道对小物体的支持力N的大小；
(2)要使小物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度LAB至少要多长；
(3)若斜面已经满足(2)要求，小物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小．

Answer 1

（1）12.4 N；(2)  ；（3）4.8J

试题分析：(1)小物体从E到C，由能量守恒定律得
mg(h＋R)＝mv       ①
在C点，由牛顿第二定律得：N－mg＝m        ②
联立①②解得N＝12.4 N.
(2)从E→D→C→B→A过程，由动能定理得
W_G－W_阻＝0③
W_G＝mg[(h＋Rcos37°)－L_ABsin37°]       ④
W_阻＝μmgcos37°L_AB                    ⑤
联立③④⑤解得
（2）因为（或）
所以，小物体不会停在斜面上，小物体最后以C为中心，B为最高点沿圆弧轨道做往返运动。
从E点开始直至稳定，系统因摩擦力产生的热量
      ⑥
  ⑦
联立⑥⑦解得