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如图8所示,质量为m=0.5 kg的小球从距离地面高H=5 m处自由下落,到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动,半圆槽的半径R为0.4 m,小球到达槽底部最低点时速率恰好为10 m/s,并继续沿槽壁运动直到槽左端飞出且竖直方向上升、落下,如此反复几次.设摩擦力大小恒定不变,求:

图8

(1)小球第一次飞出半圆槽上升的距离离水平地面的高度h为多少?

(2)小球最多能飞出槽外几次?(g取10 m/s2

解析:(1)设球落至槽右端口时的速度为v1,根据机械能守恒定律有mgH=mv12,v1==10 m/s.

小球从槽右端口到最低点的过程中,根据动能定理得mv22-mv12=mgR-Wf

因为v1=v2=10 m/s,所以有Wf=mgR=2 J

由对称性可知,小球从槽底到左端口摩擦力做的负功也是2 J,因此小球沿半圆轨道滑行一次克服摩擦力做的功为2Wf=4 J.设小球第一次离槽上升的最大高度为h,对小球从下落到第一次上升到最高点的过程应用动能定理得mg(H-h)-2Wf=0

从而解得h=4.2 m.

(2)设小球飞出槽n次,则小球消耗的能量为2nWf,由能量守恒得

2nWf≤mgH,n≤=6.25.

故小球最多能飞出槽外6次.

答案:(1)4.2 m  (2)6次

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