Question

【题目】某遥控赛车轨道如图所示，赛车从起点A出发，沿摆放在水平地面上的直轨道AB运动L=10m后，从B点进入半径R=0.1m的光滑竖直圆轨道，经过一个完整的圆周后进入粗糙的、长度可调的、倾角=30的斜直轨道CD，最后在D点速度方向变为水平后飞出（不考虑经过轨道中C、D两点的机械能损失）。已知赛车质量m=0.1kg，通电后赛车以额定功率P=1.5W工作，赛车与AB轨道、CD轨道间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2=，重力加速度g取10m/s2：

(1)求赛车恰好能过圆轨道最高点P时的速度vP的大小；

(2)若要求赛车能沿圆轨道做完整的圆周运动，求赛车通电的最短时间；

(3)已知赛车在水平直轨道AB上运动时一直处于通电状态且最后阶段以恒定速率运动，进入圆轨道后关闭电源，选择CD轨道合适的长度，可使赛车从D点飞出后落地的水平位移最大，求此最大水平位移，并求出此时CD轨道的长度。

Answer 1

【答案】(1)1m/s；(2)；(3)，

【解析】

(1)小球恰好在最高点P，只受到重力，重力提供向心力，即

代入数据可得

(2)由(1)小题可知，若要赛车做完整圆周运动，即小车到达P点的速度至少为，赛车从开始运动到P点的全过程，由动能定理得：

代入数据可得，赛车的最短通电时间

(3)赛车在最后过程做匀速运动，牵引力与滑动摩擦力平衡，其速度大小为

设CD轨道的长度为，赛车沿CD向上运动过程运用动能定理可得

赛车从D飞出后做平抛运动，其水平位移为x，则有

联立可得

由数学知识可得，当，水平位移x有最大值，最大值为