Question

6．在以O为圆心，夹角为60°的扇形区域内分布着方向垂直于纸面向外的匀强磁场，大量的带正电粒子从OC边界沿垂直OC方向（纸面内）以各种速度射入磁场，已知磁感强度为B，粒子重量为m，电量为q，OC长为L，不计粒子重力．
（1）若OC边上存在一点P（图上未标出），满足从OP之间射入磁场的所有粒子都无法从CD边界射出，求P点与O点间的最大距离；
（2）在OC边上另取一点O（图上未标出），且OQ=λL（0＜λ＜1），若从Q点射出磁场的粒子能从OD边射出，粒子速度应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出粒子轨道半径，然后分析答题；
（2）作出粒子运动轨迹，求出粒子从OD射出的临界轨道半径，然后由牛顿第二定律求出粒子的临界速度，最后确定其速度范围．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$
因此可知，粒子运动的速度越大，则圆周运动的半径越大，
如果速度很大，则其运动的半径就非常大，一小段轨迹就接近是直线了．

而题目说以任意速度粒子都不能从CD射出，故过D做OC的垂线，交OC于P点，
则粒子从此点垂直OC射入，不管速度v多大都不能够从CD边射出，
由几何知识可知，OP的最大距离：x=Lcos60°=$\frac{1}{2}$L；
（2）粒子轨迹与OD恰好相切时粒子恰好不从OD射出，轨迹如图所示：

由几何知识得：r+$\frac{r}{sin60°}$=λL，
解得：r=$\frac{3λL}{2\sqrt{3}+3}$，
粒子恰好从D点射出时的运动轨迹如图所示：

由几何知识得：r′²=L²+（r′-λL）²-2L（r′-λL）cos120°，
解得：r′=$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）L}{2λ-1}$，
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\frac{qBr}{m}$，
则：v=$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$，v′=$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$，
粒子不从OD射出时速度满足的条件是：$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$＜v≤$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$；
答：（1）从OP之间射入磁场的所有粒子都无法从CD边界射出，P点与O点间的最大距离为$\frac{1}{2}$L；
（2）从Q点射出磁场的粒子能从OD边射出，粒子速度应满足的条件是$\frac{3λqBL}{（2\sqrt{3}+3）m}$＜v≤$\frac{（1-λ+{λ}^{2}）qBL}{（2λ-1）m}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动规程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，应用牛顿第二定律可以解题，解题时注意几何知识的应用．