Question

如图所示，放在倾角为30°的固定斜面上的正方形导线框abcd与重物之间用足够长的细线跨过光滑的轻质定滑轮连接，线框的边长为L、质量为m、电阻为R，重物的质量为

7

8

m．现将线框沿bc方向抛出，穿过宽度为D、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直斜面向上．线框向下离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的

1

n

（n大于1），线框离开磁场后继续下滑一段距离，然后上滑并匀速进人磁场．线框与斜面间的动摩擦因数为

1

4 3

，不计空气阻力，整个运动过程中线框始终与斜面平行且不发生转动，斜细线与bc边平行，cd边与磁场边界平行．求：
（1）线框在上滑阶段匀速进人磁场时的速度υ₂大小；
（2）线框在下滑阶段刚离开磁场时的速度υ₁大小；
（3）线框在下滑阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析：（1）线框在上滑阶段匀速进人磁场时沿斜面的方向受到的重力的分力与摩擦力、安培力、绳子的拉力和合力为0，根据共点力的平衡和法拉第电磁感应定律得出线框的速度；
（2）选取重物与线框组成的系统为研究的对象，线框离开磁场后继续下滑一段的过程中以及返回的过程中重力与摩擦力做功，根据动能定律，即可求得线框在下滑阶段刚离开磁场时的速度υ₁大小；
（3）线框在下滑并通过磁场过程中选取重物与线框组成的系统为研究的对象，重力、摩擦力和安培力做功，根据系统的能量守恒，即可求得结果．

解答：解：（1）线框在上滑匀速进人磁场时沿斜面的方向受到的重力的分力与摩擦力、安培力、绳子的拉力和合力为0，有
mgsin30°+μmgcos30°+BIL-Mg=0
而：I=

E

R

E=BLv₂
解得：v2=

mgR

4B2L2

（2）选取重物与线框组成的系统为研究的对象，线框离开磁场后继续下滑一段的过程中的过程中重力与摩擦力做功，根据动能定律：
mgsin30°?h-

7

8

mgh-μmgcos30°?h=0-

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 1

进入磁场前的上滑阶段：
-mgsin30°?h+

7

8

mgh-μmgcos30°?h=

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 2

-0
联立以上3公式解得：v1=

2 mgR

4B2L2

（3）设线框刚进入磁场时速度为v 0，线框在下滑穿越磁场的过程中，由系统的能量守恒得：

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 0

-

1

2

(m+

7

8

m)

v

2 1

=

7

8

mg(L+D)-mgsin30°(L+D)+μmgcos30°(L+D)+Q
由题目知：v₀=nv₁
解得：Q=

15m3g2R2(n2-1)

128B4L4

-

1

2

mg(L+D)
答：（1）线框在上滑阶段匀速进人磁场时的速度υ₂大小为

mgR

4B2L2

；
（2）线框在下滑阶段刚离开磁场时的速度υ₁大小为

2 mgR

4B2L2

；
（3）线框在下滑阶段通过磁场过程中产生的焦耳热为

15m3g2R2(n2-1)

128B4L4

-

1

2

mg(L+D)．

点评：本题考查了电磁感应与力学和能量的综合，涉及到共点力平衡、能量守恒定律、机械能守恒定律、闭合电路欧姆定律等，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．