Question

16．三维弹球（3D Pinball）是Window里面附带的一款使用键盘操作的电脑游戏，小王同学受此启发，在学校组织的趣味运动会上，为大家提供了一个类似的弹珠游戏．如图所示，将一质量为m=0.1kg的小弹珠（可视为质点）放在O点，用弹簧装置将其弹出，使其沿着光滑的半圆形轨道OA和AB进入水平桌面BC，从C点水平抛出．已知半圆型轨道OA和AB的半径分别为r=0.2m，R=0.4m，BC为一段长为L=2.0m的粗糙水平桌面，小弹珠与桌面间的动摩擦因数为μ=0.4，放在水平地面的矩形垫子DEFG的DE边与BC垂直，C点离垫子的高度为h=0.8m，C点离DE的水平距离为x=0.6m，垫子的长度EF为1m，g=10m/s2．求：
（1）若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，在B位置小弹珠对半圆轨道的压力；
（2）若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，小弹珠从C点水平抛出后落入垫子时距左边缘DE的距离；
（3）若小弹珠从C点水平抛出后不飞出垫子，小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求得在A点的速度，然后通过机械能守恒求得在B点的速度，进而由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）通过动能定理求得在C点的速度，即可由平抛运动的位移公式求得距离；
（3）求得不飞出垫子弹珠在C点的速度范围，再通过动能定理求得初速度范围，即可得到最大初速度．

解答 解：（1）若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，那么对弹珠在A点应用牛顿第二定律有$mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{A}=\sqrt{gR}=2m/s$；
那么，由弹珠在半圆轨道上运动只有重力做功，机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+2mgR$，所以，${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+4gR}=2\sqrt{5}m/s$；
那么，对弹珠在B点应用牛顿第二定律可得：弹珠受到半圆轨道的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=6N$，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可得：在B位置小弹珠对半圆轨道的压力N=F_N=6N，方向竖直向下；
（2）弹珠在BC上运动只有摩擦力做功，故由动能定理可得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}-2μgL}=2m/s$；
设小弹珠从C点水平抛出后落入垫子时距左边缘DE的距离为d，那么由平抛运动的位移公式可得：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$x+d={v}_{C}t={v}_{C}\sqrt{\frac{2h}{g}}=0.8m$，所以，d=0.2m；
（3）若小弹珠从C点水平抛出后不飞出垫子，那么弹珠做平抛运动的水平距离0.6m≤s≤1.6m；
故平抛运动的初速度${v}_{C}′=\frac{s}{t}=\frac{s}{\sqrt{\frac{2h}{g}}}$，所以，1.5m/s≤v_C′≤4m/s；
又有弹珠从O到C的运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mg（2R-2r）-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，${v}_{0}=\sqrt{{v}_{C}{′}^{2}-2g（2R-2r）+2μgL}$=$\sqrt{{v}_{C}{′}^{2}+8}m/s$，故$\frac{\sqrt{41}}{2}m/s≤{v}_{0}≤2\sqrt{6}m/s$，所以，小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度为$2\sqrt{6}m/s$；
答：（1）若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，在B位置小弹珠对半圆轨道的压力为6N，方向竖直向下；
（2）若小弹珠恰好不脱离圆弧轨道，小弹珠从C点水平抛出后落入垫子时距左边缘DE的距离为0.2m；
（3）若小弹珠从C点水平抛出后不飞出垫子，小弹珠被弹射装置弹出时的最大初速度为$2\sqrt{6}m/s$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．