Question

17．将质量为m=1kg的煤块A轻放在以2m/s的恒定速度顺时针转动的足够长水平传送带上后，已知煤块与传送带间动摩擦因数μ=0.05．
（1）求煤块在传送带上留下的划痕长度？
（2）求摩擦力对煤块做的功w₁？摩擦力对传送带做的功w₂？
（3）若使该传送带改做加速度大小为1.5m/s²的匀减速运动直至速度为零，并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一煤块B轻放在传送带上，则B停止在传送带上的位置与其在传送带上划线起点间的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）当煤块在传送带上加速到速度和传送带速度相同之后，与传送带一起做匀速运动，故划痕长度，即为煤块加速阶段与传送带的相对位移，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式分别求出加速时间，加速过程中的位移，传送带的位移，作差即为划痕长度．
（2）传送带对煤块的摩擦力和煤块对传送带的摩擦力为一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，直接根据功的定义求出分别对传送带做的功．
（3）第二次煤块B放在传送带后先做匀加速运动，速度与传送带相同后，根据传送带的加速度与煤块B加速度关系，判断煤块B的运动情况，根据位移公式和位移关系求解该煤块B在传送带上能留下的划线的长度．

解答 解：（1）设水平传送带的恒定初速度为v₀，以煤块为研究对象，设煤块的速度达到v₀前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得：μmg=ma，
代入数据解得：a=0.5m/s²，
达到v₀所用时间：t=$\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{2}{0.5}=4s$；
传送带运动的距离：x₁=v₀t=2×4=8m
煤块运动的距离：${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×0.5×{4}^{2}=4m$
此过程中划出的痕迹长度为：△x=x₁-x₂=8-4=4m
（2）在煤块加速过程中，传送带对煤块的摩擦力为：f=μmg=0.05×1×10=0.5N
这个过程中，煤块对传送带的摩擦力大小也为f，故摩擦力对煤块做的功和摩擦力对传送带做的功大小相等，即：
w₁=w₂=f△x=0.5×4=2J
其中，摩擦力对煤块做的功w₁为正功，摩擦力对传送带做的功w₂为负功；
（3）煤块B先加速到与传送带速度相同，设二者达到的相同速度为v′，传送带减速运动的加速度为a₀，由运动学公式得：
$\frac{{v}_{0}-v′}{{a}_{0}}=\frac{v′}{a}$
即：$\frac{2-v′}{1.5}=\frac{v′}{0.5}$
解得：v′=0.5m/s
此过程传送带比煤块多走的距离：${s}_{1}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-v{′}^{2}}{2{a}_{0}}$-$\frac{v{′}^{2}}{2a}$
代入数据得：s₁=1m
由于a₀＞μg，故二者不能共同减速，煤块以μg的加速度减速到静止．传送带的加速度大，先停下来．
煤块减速到零的过程煤块比传送带多走的距离：s₂=$\frac{v{′}^{2}}{2a}-\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{0}}$
代入数据解得：${s}_{2}=\frac{1}{6}m$
可见，煤块相对于传送带先后滑1m，后又向前滑$\frac{1}{6}m$，故煤块B停止在传送带上的位置与划线起点间的距离为：$△s={s}_{1}-{s}_{2}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}m$
答：（1）煤块在传送带上留下的划痕长度位4m．
（2）摩擦力对煤块做正功，大小为2J，摩擦力对传送带做负功，大小为2J．
（3）若使该传送带改做加速度大小为1.5m/s²的匀减速运动直至速度为零，并且在传送带开始做匀减速运动的同时，将另一煤块B轻放在传送带上，则B停止在传送带上的位置与其在传送带上划线起点间的距离为$\frac{5}{6}m$．

点评 分析清楚煤块的运动过程，应用牛顿第二定律与运动学公式即可正确解题，煤块在传送带留下的划线的长度等于两者相对位移大小，分析煤块的运动情况是关键．