Question

【题目】如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝37°，两导轨之间相距为L＝1m，两导轨M、P间接入电阻R＝1Ω，导轨电阻不计。在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的匀强磁场Ⅰ，磁感应强度为B1＝2T，磁场的宽度x1＝3m，在cd连线以下的区域有一个方向也垂直于两导轨平面向下的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度为B2＝1T。一个质量为m＝1kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝1Ω。若将金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速直线运动。金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时刚好达到平衡状态，cd与ef之间的距离x2＝9m。重力加速度g取10m/s2，sin37=0.6，求金属棒：

（1）在磁场Ⅰ区域内速度v1的大小；

（2）从开始运动到在磁场Ⅱ中达到平衡状态这一过程中整个电路产生的热量；

（3）从开始运动到在磁场Ⅱ中达到平衡状态所经过的时间。

Answer 1

【答案】（1）3m/s；（2）4.5J；（3）3.75s

【解析】

（1）金属棒进入磁场Ⅰ区域匀速运动，由平衡条件和电磁感应规律得

I＝

mgsin37°＝B1IL

解得

v1＝3m/s

（2）金属棒在未进入磁场前做初速度为零的匀加速直线运动，知

mgsin37°＝ma

得

a＝6m/s2

2ax0＝v12

得

x0＝0.75m

金属棒在通过磁场Ⅱ区域达到稳定状态时，重力沿斜轨道向下的分力与安培力相等

I′＝

mgsin37°＝B2I′L

解得

v2＝12m/s

金属棒从开始运动到在磁场Ⅱ区域中达到稳定状态过程中，根据动能定理，有

mg(x0＋x1＋x2)sin37°＋W安＝mv22－0

电路在此过程中产生的热量

Q＝－W安＝4.5J

（3）由运动学规律得

先匀加速

v1＝at1

t1＝0.5s

之后匀速

x1＝v1t2

t2＝1s

最后，金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态前的过程中取任意微小过程，设这一微小过程的时间为Δti，速度为vi，速度的变化量为Δvi，金属棒从进入磁场Ⅱ到在磁场Ⅱ中达到稳定状态的过程中，有

mgsin37°∑Δti－＝m∑Δvi

mgsin37°t3－＝m(v2－v1)

解得

t3＝2.25s

所以

t＝t1＋t2＋t3＝0.5+1+2.25s=3.75s