Question

17．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点，已知月球半径为R，引力常数为G．
（1）求月球的密度．
（2）若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？

Answer 1

分析 1、小球在月球表面做竖直上抛运动，根据匀变速运动可得月球表面重力加速度，根据万有引力等于重力求得月球质量，再求解密度；
2、由万有引力等于重力提供向心力可得第一宇宙速度．

解答 解：（1）由匀变速直线运动规律：v₀=$\frac{gt}{2}$
所以月球表面的重力加速度g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$
由月球表面，万有引力等于重力得
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
月球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{{3v}_{0}}{2πGRt}$
（2）由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：
mg=$\frac{{mv}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$
答：（1）月球的密度是$\frac{{3v}_{0}}{2πGRt}$．
（2）若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为$\sqrt{\frac{2{Rv}_{0}}{t}}$．

点评 本题重点是利用好竖直上抛，由此可得月球表面的重力加速度，这是在星球表面给加速度的一种常见方式．