Question

13．如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一倾角为θ的光滑绝缘斜面上，导轨间距为L，电阻忽略不计且足够长，一宽度为d的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁感应强度为B．另有一长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d（d＜L）的正方形线框连在一起组成的固定装置，总质量为m，导体棒中通有大小恒为I的电流．将整个装置置于导轨上，开始时导体棒恰好位于磁场的下边界处．由静止释放后装置沿斜面向上运动，当线框的下边运动到磁场的上边界MN处时装置的速度恰好为零．重力加速度为g．
（1）求刚释放时装置的加速度大小；
（2）求这一过程中线框中产生的热量；
（3）在图b中定性地画出整个装置向上运动过程中的速度-时间（v-t）图象（不需要表示坐标）；
（4）之后装置将向下运动，然后向上运动，经过若干次往返后，最终整个装置将在斜面上作稳定的往复运动．求稳定后装置运动的最高位置与最低位置之间的距离．

Answer 1

分析 （1）装置受重力、支持力和安培力作用，向上加速运动，由牛顿第二定律求解加速度；
（2）从释放装置到线框的下边运动到磁场的上边界MN过程中，用动能定理可求线框所受安培力对线框做功的大小为W，此功的数值等于线框中产生的热量；
（3）第一段，初速度为零的匀加速运动；第二段，加速度比第一段小的匀减速运动；第三段，加速度减小的减速运动，最终速度为零）；
（4）装置往复运动的最高位置：线框的上边位于磁场的下边界，此时金属棒距磁场上边界d；往复运动到最低位置时，金属棒在磁场内，设距离上边界x，根据棒所受安培力做功等于装置的重力做功建立联系，列方程求解．

解答 解：（1）装置受重力、支持力和安培力作用，沿导轨向上加速运动，由牛顿第二定律得：ma=BIL-mgsinθ，
可得：a=$\frac{BIL}{m}$-gsinθ
（2）设装置由静止释放到线框的下边运动到磁场的上边界MN的过程中，线框所受安培力对线框做功的大小为W，根据动能定理有：
0-0=BIL•d-mgsinθ•4d-W
解得：W=BILd-4mgdsinθ
线框中产生的热量：Q=W=BILd-4mgdsinθ 
（3）答案见图（三段运动图象各（1分）：第一段，初速度为零的匀加速运动；第二段，加速度比第一段小的匀减速运动；第三段，加速度减小的减速运动，最终速度为零）

（4）装置往复运动的最高位置：线框的上边位于磁场的下边界，此时金属棒距磁场上边界d；往复运动到最低位置时，金属棒在磁场内，设距离上边界x，
mgsinθ•（x+d）=BIL•x
得：x=$\frac{mgdsinθ}{BIL-mgsinθ}$
最高位置与最低位置之间的距离为：x+d=$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$
答：（1）求刚释放时装置加速度的大小为$\frac{BIL}{m}$-gsinθ
（2）求这一过程中线框中产生的热量为BILd-4mgdsinθ
（3）整个装置向上运动过程中的速度-时间（v-t）图象如图所示；
（4）稳定后装置运动的最高位置与最低位置之间的距离为$\frac{BILd}{BIL-mgsinθ}$．

点评 注意当线框在磁场中运动产生感应电流时，安培力做功从而产生热量．该题考查了动能定理以及微元法在磁场中的运用，微元法思想的渗透对加深学生对物理概念、物理规律的理解，提高解决物理问题的能力有很大的帮助．该题难度很大，涉及的知识点比较多，对同学们的能力要求很高，属于难题．