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    7．粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度为B0的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为E0的匀强电场，一束质量为m、电荷量为q的带电粒子，以不同的速度从小孔O处沿中轴射入此区域，研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动并从挡板上小孔P射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为△v，通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为v1的匀速直线运动和以速度v2在两板间的匀强磁场找那个做匀速圆周运动的合运动，v1、v2和△v均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间相互作用．
    （1）若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔O射入时的速度v0；
    （2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中的速度v0射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距d应满足什么条件？
    （3）磁感应强度为B0时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量△v，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L应满足什么条件？

    分析 （1）由粒子受力平衡求解即可；
    （2）求出粒子做匀速圆周运动的速度，然后再根据洛伦兹力作向心力求得圆周运动的半径，进而得到d的条件；
    （3）求出粒子做圆周运动的周期，然后分析提高分辨率的条件，再联立匀速直线分运动将其转化为距离．

    解答 解：（1）粒子受电场力（方向：竖直方向）和洛伦兹力的作用，沿中轴线运动，则带电粒子受力平衡，所以有qE0=B0v0q，
    所以，${v}_{0}=\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
    （2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中的速度v0射入，则粒子不能沿中轴线运动，那么，带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为v1的匀速直线运动和以速度v2在两板间的匀强磁场做匀速圆周运动的合运动；
    匀速圆周运动初始时刻速度方向水平，向心力方向竖直，所以，任一粒子将在中垂线的一边运动；
    所以，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，则两板间距d的一半$\frac{d}{2}$应大于匀速圆周运动的直径；
    对于沿中轴线方向以速度为v1的匀速直线运动有：qE0=Bv1q，所以，${v}_{1}=\frac{{E}_{0}}{B}$；
    所以，对于以速度v2在两板间的匀强磁场做匀速圆周运动有$\left\{\begin{array}{l}{{v}_{2}={v}_{0}-{v}_{1}}\\{B{v}_{2}q=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{R}}\end{array}\right.$；
    所以，$R=\frac{m{v}_{2}}{Bq}=\frac{m}{Bq}（\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}-\frac{{E}_{0}}{B}）$=$\frac{m{E}_{0}}{q}•\frac{B-{B}_{0}}{{B}^{2}{B}_{0}}$；
    设B=kB0，则$R=\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}（-\frac{1}{{k}^{2}}+\frac{1}{k}）=-[（\frac{1}{k}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}]\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
    所以，当k=2时，R取得最大值，${R}_{max}=\frac{m{E}_{0}}{4q{{B}_{0}}^{2}}$；
    所以，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，则两板间距d应大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
    （3）磁感应强度为B0时，粒子做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{{v}_{2}}=\frac{2πm}{{B}_{0}q}$；
    磁感应强度为B0时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量△v，从而提高速度选择器的速度分辨本领，则应使不能沿轴线运动的粒子偏离轴线有最大距离，即圆周分运动完成半周期的奇数倍，则$L={v}_{0}（2n-1）\frac{T}{2}$=$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}×（2n-1）×\frac{πm}{{B}_{0}q}$=$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$；
    答：（1）若带电粒子能沿中轴线运动，则其从小孔O射入时的速度v0为$\frac{{E}_{0}}{{B}_{0}}$；
    （2）增加磁感应强度后，使带电粒子以（1）中的速度v0射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距d应大于$\frac{m{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}$；
    （3）磁感应强度为B0时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量△v，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L为$\frac{（2n-1）πm{E}_{0}}{q{{B}_{0}}^{2}}，n∈{Z}^{*}$．

    点评 在利用运动的合成与分解时，力与速度满足相同的叠加法则，所以，洛伦兹力也可以根据速度的分解而分解．

    练习册系列答案
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