Question

一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径r=0.100m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大气压ρ₀=1.00×10⁵Pa．求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s²．）

Answer 1

从开始提升到活塞升至内外水面高度差为h0=

P0

ρg

=10m的过程中，活塞始终与管内液体接触．（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论．）设活塞上升距离为h₁，管外液面下降距离为h₂，有：h₀=h₁+h₂
因液体体积不变，有：h2=h1 (

πr2

πR2-πr2

)=

1

3

h1 
得：h1=

3

4

h0=

3

4

×10m=7.5m  
题给H=9m＞h₁，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程．
活塞移动距离从零到h₁的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功．因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即
  △E=ρ(πr2h1)g

h0

2

 
其它力有管内、外的大气压力和拉力F．因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功P0π(R2-r2) h2- P0πr2h1=0，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知
        W₁=△E         
即W1=ρ(πr2)g

3

8

h

20

=

3

8

πr2

P 20

ρg

=1.18×104J
活塞移动距离从h₁到H的过程中，液面不变，F是恒力F=πr²P₀，做功
w2=F(H-h1) =πr2

P

20

(H-h1)=4.71×103J
所求拉力F做的总功为：W₁+W₂=1.65×10⁴ J．
答：活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功为1.65×10⁴ J．