Question

15．如图甲所示，水平桌面与四分之一圆弧轨道PQ平滑连接，圆弧轨道PQ竖直放置，半径OP与水平面垂直．一小物块放桌面上的A点，使小物块获得大小不同的方向水平向右的初速度v₀，小物块刚进入圆弧轨道时在P点受到的支持力大小为F_N，测得F_N随v₀²的变化关系图线如图乙所示．已知AP间的距离L=1m，下物块可视为质点，g取10m/s²．求：
（1）小物块的质量m；
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ；
（3）圆弧轨道的半径R．

Answer 1

分析 （1）小物块初速度越大，在P点速度越大，那么支持力越大，所以，当在P点速度为零时，支持力等于重力，即可由图求得质量；
（2）根据（1）的情况，由动能定理即可求得动摩擦因数；
（3）根据动能定理求得小物块在P点的速度，然后由牛顿第二定律就得支持力，即可根据图象求得半径．

解答 解：（1）由图可知，当${v}_{0}=\sqrt{5}m/s$时，小物块刚好能到达P点，那么，小物块在P点的速度为零，所以，支持力等于重力，即mg=10N，所以，m=1kg；
（2）由（1）可知，当${v}_{0}=\sqrt{5}m/s$时，小物块刚好能到达P点，小物体从A到P的运动过程中只有摩擦力做功，故由动能定理可得$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=μmgL$，所以，$μ=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2mgL}=0.25$；
（3）当${v}_{0}≥\sqrt{5}m/s$时，小物体从A到P的运动过程中只有摩擦力做功，故由动能定理可得：$-μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
在P点对小物块应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{p}}^{2}}{R}=mg+\frac{m{{v}_{0}}^{2}-2μmgL}{R}$；
故由图可得：$\frac{m}{R}=4$，$mg-\frac{2μmgL}{R}=-10$，所以，R=0.25m；
答：（1）小物块的质量m为1kg；
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ为0.25；
（3）圆弧轨道的半径R为0.25m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．