Question

如图所示，在xOy平面的第一象限内存在着方向垂直纸面向外，磁感应强度为B的匀强磁场，在第四象限内存在方向沿负x方向的匀强电场．从y轴上坐标为（0，a）的P点同时沿垂直磁场方向向磁场区发射速度大小不是都相等的带正电的同种粒子，粒子的速度方向在与y轴正方向成30°～150°角的范围内，结果所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上，然后进入第四象限内的电场区．已知带电粒子电量为+q，质量为m，不计粒子重力和粒子间的相互作用力．
（1）求全部粒子经过x轴的时间差．
（2）求粒子通过x轴时的位置范围．
（3）已知从P点发出时速度最大的粒子受到的磁场力与它在电场中受到的电场力大小相等，求从P点发出时速度最小的粒子穿过电场后在y轴上的Q点射出电场时的速度大小v．

Answer 1

分析：（1）由题意，所有粒子经过磁场偏转后都垂直打到x轴上，先找出两个边界上的粒子，分析在第一象限内的运动情况，可知与y轴正方向成30°的粒子运动时间最长，与y轴正方向成150°的粒子运动时间最短．由几何知识可确定粒子的速度偏向角θ最小值和最大值，而速度的偏向角等于轨迹的圆心角θ，根据t=

θ

2π

T，即得到粒子在磁场中的最短时间和最长时间，求出时间差．
（2）利用带电粒子在有边界的匀强磁场中做圆周运动时确定圆心和半径的方法，分别求出两种粒子经过x轴时距坐标原点的距离，从而可表示出粒子打到 x 轴上的范围．
（3）轨迹半径最大的粒子，其速度也最大，由（2）问结果得到最大半径，由半径公式求得最大速度．轨迹半径最小的粒子，其速度也最小，由（2）问结果得到最小半径，由半径公式求得最小速度．由题，速度最大的粒子受到的磁场力与它在电场中受到的电场力大小相等，即求出粒子所受的电场力大小．所有粒子在电场中受到的电场力大小相等．再根据动能定理求解速度最小的粒子穿过电场后在y轴上的Q点射出电场时的速度大小v．

解答：解（1）所有粒子在第一象限内运动时，与y轴正方向成150°的粒子运动时间最短，其速度的偏向角为

π

6

，最短时间为：tmin=

π 6

2π

T=

T

12

所有粒子在第一象限内运动时，与y轴正方向成30°的粒子运动时间最长，其速度的偏向角为

5π

6

，最长时间为：tmax=

5π 6

2π

T=

5T

12

故全部粒子经过x轴的时间△t=t_max-t_min=

1

3

T=

2πm

3qB

（2）与y轴夹角150°入射的粒子轨迹半径为  R1=

a

sin30°

=2a
打在最左边的坐标是 x1=R1(1-cos30°)=(2-

3

)a
与y轴夹角的粒子轨迹半径为 R₂=

a

sin30°

=2a
打在最右边的坐标是 x2=R2(1+cos30°)=(2+

3

)a
粒子通过x轴时的位置范围是(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a
（3）半径为2a的粒子发出时速度最大，设为v₁
则 2a=

mv1

qB

∴v1=

2aqB

m

∴电场力F=qv1B=

2aq2B2

m

半径为a的粒子发出时速度最小，设为v₂，
在磁场中a=

mv2

qB

∴v2=

aqB

m

第四象限中，Fa=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 2

得v=

5 aqB

m

答：
（1）全部粒子经过x轴的时间差是

2πm

3qB

．
（2）粒子通过x轴时的位置范围是(2-

3

)a≤x≤(2+

3

)a．
（3）从P点发出时速度最小的粒子穿过电场后在y轴上的Q点射出电场时的速度大小v是

5 aqB

m

．

点评：本题的解题关键是利用几何知识确定粒子速度的偏向角，确定运动时间和轨迹半径．