Question

11．如图所示，在坐标系xoy中，过原点的直线OC与x轴正向的夹角ψ=120°，在OC右侧有一匀强电场；在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点射入磁场区域，并从O点射出，粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ=30°，大小为v，粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍．粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场．已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期．忽略重力的影响．求：
（1）粒子经过A点时速度的方向和A点到x轴的距离；
（2）粒子两次经过O点的时间间隔；
（3）匀强电场的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）结合运动的轨迹图象，判断出圆周运动的圆心即两虚线的交点，再根据洛伦兹力提供向心力，粒子的速度和A到y轴的距离；
（2）（3）粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域说明电场力的方向一定与运动的方向相反，则电场方向必与v相反；根据时间关系求出粒子在电场中运动的时间，进而求出电场的强度和方向；

解答 解：（1）粒子第一次进入磁场时弧的半径为磁场左右边界间距的2倍，如图做运动的轨迹，则圆周运动的圆心即两虚线的交点．进入磁场时速度必垂直于磁场边界，由洛伦兹力提供向心力：$qvB=m\frac{v2}{R}$，
得：R=$\frac{mv}{qB}$，
A点到x轴的距离为：$L=R（1-cos30°）=\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）（3）设粒子在磁场中运动的周期为T，则：vT=2πR
所以：$T=\frac{2πm}{qB}$，在磁场中运动的时间为${t}_{1}=\frac{3{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{12}$
粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域说明电场力的方向一定与运动的方向相反，则电场方向必与v相反，再次进入磁场时速度方向也与v相反，将向y轴负方向偏转做圆周运动，运动的轨迹如图1所示：
运动时间为${t}_{3}=\frac{12{0}^{0}}{36{0}^{0}}T=\frac{T}{3}$，
则在电场中运动的时间为：${t}_{2}=T-{t}_{1}-{t}_{3}=\frac{7T}{12}$
（3）在电场中的运动有：-v=v-$\frac{qE}{m}$t₂，
求得：$E=\frac{12Bv}{7π}$
答：（1）粒子经过A点时的速度方向平行于X轴，A点到x轴的距离$\frac{mv}{qB}（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
（2）粒子两次经过O点的时间间隔为$\frac{7T}{12}$．
（3）电场方向与v相反，大小$\frac{12Bv}{7π}$；

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，正确地画出运动的轨迹是解题的关键；同时注意电场中做类平抛运动；而在磁场中做的是圆周运动，要根据不同的运动性质进行分析；题目的难度较大．