Question

7．空间中存在如图所示的两平行板电容器1和2，其电压U₁、U₂未知，两电容器的板长及板间距离均为d，紧挨着电容器2右侧存在一场强B未知的长条形匀强磁场，磁场上下无界，左右边界宽度未知，今有一电荷量为+q，质量为m的带电粒子由A点静止释放，在电场1加速后沿平行板2的中线进入电场2，已知进入瞬间的粒子速度为v₀，恰好沿电容器2的下级板的右侧边缘飞出，进入右侧的磁场，粒子重力不计．试求：
（1）平行板电容器1的电压U₁；
（2）飞出平行板电容器2时的速度大小及平行板电容器2的电压U₂；
（3）若经过一段时间后，适当调整U₂的正负极而大小不变，粒子还能够回到A点，求磁场的磁感应强度B的大小；磁场宽度L满足的条件；
（4）试求第（3）问中的粒子由A点飞出到返回A点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求平行板电容器1的电压U₁；
（2）粒子在平行板电容器2中做类平抛运动，根据运动学公式即可求出飞出时的速度大小及平行板电容器2的电压U₂；
（3）若经过一段时间后，适当调整U₂的正负极而大小不变，粒子还能够回到A点，画出轨迹，求出半径，根据半径公式即可求出磁场的磁感应强度B的大小；由几何关系即可求出磁场宽度L满足的条件；
（4）分别求出粒子在各个区域的时间，即可求第（3）问中的粒子由A点飞出到返回A点所用的时间

解答 解：（1）根据动能定理，有：
$q{U}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$
解得：${U}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（2）粒子在电压为${U}_{2}^{\;}$的平行板中做类平抛运动，根据牛顿第二定律：$a=\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}$
水平方向：$d={v}_{0}^{\;}t$
竖直方向：$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}{t}_{\;}^{2}$
联立得：${U}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$
竖直分速度为：${v}_{y}^{\;}=at=\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}×\frac{d}{{v}_{0}^{\;}}$=${v}_{0}^{\;}$
所以飞出平行板电容器2时的速度大小为：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}$
飞出平行板电容器2时的速度方向与水平方向的夹角为θ，$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=1$，得θ=45°
（3）要使粒子回到出发点O，微粒在偏转磁场中运动轨迹必须关于偏转极板的轴线对称，画出轨迹，

设轨道半径为R，则有
$R=\frac{\frac{d}{2}}{cos45°}=\frac{\sqrt{2}d}{2}$
由$R=\frac{mv}{qB}$，得$B=\frac{mv}{qR}=\frac{m\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}{q\frac{\sqrt{2}}{2}d}=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qd}$
磁场宽度L≥R+Rcos45°=$（2+\sqrt{2}）\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
（4）在电压为${U}_{1}^{\;}$的平行板电容器中运动时间${t}_{1}^{\;}=\frac{d}{\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}}=\frac{2d}{{v}_{0}^{\;}}$
在电压为${U}_{2}^{\;}$的平行板电容器运动时间${t}_{2}^{\;}=\frac{d}{{v}_{0}^{\;}}$
在匀强磁场中运动的时间${t}_{3}^{\;}=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=\frac{3}{4}×\frac{2π}{\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}}×\frac{\sqrt{2}d}{2}=\frac{3πd}{4{v}_{0}^{\;}}$
第（3）问中的粒子由A点飞出到返回A点所用的时间$t=2{t}_{1}^{\;}+2{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=（6+\frac{3π}{4}）\frac{d}{{v}_{0}^{\;}}$
答：（1）平行板电容器1的电压${U}_{1}^{\;}$为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）飞出平行板电容器2时的速度大小$\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}$及平行板电容器2的电压${U}_{2}^{\;}$为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（3）若经过一段时间后，适当调整U₂的正负极而大小不变，粒子还能够回到A点，磁场的磁感应强度B的大小$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qd}$；磁场宽度L满足的条件$L≥（2+\sqrt{2}）\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（4）试求第（3）问中的粒子由A点飞出到返回A点所用的时间$（6+\frac{3π}{4}）\frac{d}{{v}_{0}^{\;}}$

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，关键是分析粒子的受力情况和运动情况，用力学的方法处理，要准确画出临界轨迹，由几何关系求轨迹半径．