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9.开普勒第三定律指出:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立.如图,嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道I上绕月球运行,周期为T.月球的半径为R,引力常量为G.某时刻嫦娥三号卫星在4点变轨进入椭圆轨道II,在月球表面的B点着陆.A、O、B三点在一条直线上.
求:(1)月球的密度;
(2)在II轨道上运行的时间.

分析 (1)根据万有引力提供向心力,结合卫星的轨道半径和周期求出月球的质量,根据月球的体积求出月球的密度.
(2)根据几何关系求出椭圆轨道的半长轴,结合开普勒第三定律求出在II轨道上运行的时间.

解答 解:(1)由万有引力充当向心力:$\frac{GMm}{r^2}=m{(\frac{2π}{T})^2}r$,
解得$M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
月球的密度:$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$,解得$ρ=\frac{{3π{r^3}}}{{G{T^2}{R^3}}}$.
(2)椭圆轨道的半长轴:$a=\frac{R+r}{2}$,
设椭圆轨道上运行周期为T1,由开普勒第三定律有:$\frac{a^3}{T_1^2}=\frac{r^3}{T^2}$,
在Ⅱ轨道上运行的时间为t:$t=\frac{T_1}{2}$,
解得$t=\frac{(R+r)T}{4r}\sqrt{\frac{(R+r)}{2r}}$.
答:(1)月球的密度为$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$;
(2)在II轨道上运行的时间为$\frac{(R+r)T}{4r}\sqrt{\frac{(R+r)}{2r}}$.

点评 本题考查了万有引力定律和开普勒第三定律的综合运用,知道在Ⅱ轨道上运行的时间等于椭圆轨道运动周期的一半,结合开普勒第三定律进行求解.

练习册系列答案
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科目:高中物理 来源: 题型:解答题

19.如图所示,水平地面有一倾角为45°、高为3.2m的斜坡,从斜坡最高点将一小球沿水平方向抛出,不计空气阻力,g取10m/s2
(1)为使小球能落在水平地面上,初速度至少为多大?
(2)若小球得初速度为3m/s,从抛出到离开斜面的距离最大时,经历的时间是多少?
(3)将小球以不同的初速度v0水平抛出,请定性抛出小球在空中运动的时间t随v0变化的图象.

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20.如图所示,在水平面上受到斜向下推力F作用的物体,处于静止状态.关于物体受力,下列说法中正确的是(  )
A.静摩擦力大于FB.静摩擦力小于F
C.支持力小于重力D.支持力与重力的大小相等

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17.如图所示,一个半径R=$\frac{5}{16}$m的圆形靶盘竖直放置,A、O两点等高且相距4m,将质量为20g的飞镖从A点沿AO方向抛出,经0.2s落在靶心正下方的B点处.不计空气阻力,重力加速度取g=10m/s2.求:
(1)飞镖从A点抛出时的速度大小;
(2)飞镖从A处抛出到落到B处的过程中减少的重力势能;
(3)为了使飞镖能落在靶盘上,飞镖抛出的速度大小应满足什么条件?

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4.某同学通过下述实验验证力的平行四边形定则.实验步骤:
①将弹簧秤固定在贴有白纸的竖直木板上,使其轴线沿竖直方向.
②如图甲所示,将环形橡皮筋一端挂在弹簧秤的秤钩上,另一端用圆珠笔尖竖直向下拉,直到弹簧秤示数为某一设定值时,将橡皮筋两端的位置记为O1、O2,记录弹簧秤的示数F,测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮筋的长度l).每次将弹簧秤示数改变0.50N,测出所对应的l,部分数据如表所示:
F(N)00.50 1.00  1.052.002.50
l (cm)l010.9712.0213.0013.9815.05
③找出②中F=2.50N时橡皮筋两端的位置,重新记为O、O′,橡皮筋的拉力记为FOO′
④在秤钩上涂抹少许润滑油,将橡皮筋搭在秤钩上,如图乙所示.用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端,使秤钩的下端达到O点,将两笔尖的位置标记为A、B,橡皮筋OA段的拉力记为FOA,OB段的拉力记为FOB
完成下列作图和填空:
(1)利用表中数据在给出的坐标纸上画出F-l图线,根据图线求得l0=10.0cm.
(2)测得OA=6.00cm,OB=7.60cm,则FOA的大小为1.80N.
(3)根据给出的标度,在答题卡上作出FOA和FOB的合力F′的图示.
(4)通过比较F′与F00′的大小和方向,即可得出实验结论.

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14.某物理实验小组在探究弹簧的劲度系数k与其原长l0的关系实验中,按示意图所示安装好实验装置,让刻度尺零刻度与轻质弹簧上端平齐,在弹簧上安装可移动的轻质指针P,实验时的主要步骤是:
①将指针P移到刻度尺l01=5cm处,在弹簧挂钩上挂上200g的钩码,静止时读出指针所指刻度并记录下来;
②取下钩码,将指针P移到刻度尺l02=10cm处,在弹簧挂钩上挂上250g的钩码,静止时读出指针所指刻度并记录下来;
③取下钩码,将指针P移到刻度尺l03=15cm处,在弹簧挂钩上挂上50g的钩码,静止时读出指针所指刻度并记录下来:
④重复③步骤,在每次重复③时,都将指针P下移5cm,同时保持挂钩上挂的钩码质量不变.
将实验所得数据记录、列表如下:
次数弹簧原长l0/cm弹簧长度l/cm钩码质量m/g
15.007.23200
210.0015.56250
315.0016.6750
420.0022.2350
525.0030.5650
根据实验步骤和列表数据,回答下列问题:
(1)重力加速度g取l0m/s2.在实验步骤③中,弹簧的原长为15cm时,其劲度系数k=30 N/m.
(2)同一根弹簧的原长越长,弹簧的劲度系数C(弹簧处在弹性限度内)
A.不变    B.越大    C.越小.

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1.如图所示,在平面直角坐标系xOy内,固定有A、B、C、D四个带电量均为Q的点电荷,它们关于两坐标轴对称,其中A、B带正电,C、D带负电,它们产生电场的等势面如图中虚线所示,坐标轴上abcd是图中正方形的四个顶点,则(  )
A.b、d两点电势相等,场强不相等
B.b、d两点场强相同,电势不相等
C.将电子沿路径a→O→c移动,电场力做正功
D.将电子沿路径a→b→c移动,电场力先做负功,后做正功

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18.从A点平抛一个小球,抛出后2s落地,落地时其速度与水平成37°角,落地点B.求落地时的速度?求平抛的水平初速度;求B点距A点的距离.g=10m/s2,tan37°=$\frac{3}{4}$.

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11.低碳环保绿色出行的理念逐渐深入人心,而纯电动汽车是时下相对较环保的汽车,为宣传“低碳环保”健康生活理念,某次志愿者举行玩具电动小汽车的表演,如图所示,质量m=2kg的小汽车以vo=4m/s的初速度从水平轨迹A处出发,沿平直轨道AC运动,到达C点时关闭发动机,进入半径R=1.8m圆轨道,恰能做完整的圆周运动后又进入CE水平轨道向右运动,直至停下,已知小汽车与水平面的摩擦阻力恒为重力的0.1倍,AB段运动过程中风力较大,可能化为受0.8N的水平向左的作用力,过B点后小汽车所受空气作用力均忽略不计,圆轨道可视作光滑,已知AB段长度x1=3m,BC段长度x2=2m,CE段足够长,小汽车自身长度可忽略,求:
(1)要使小汽车完成上述运动,AC段电动机至少提供多少能量?
(2)若CE阶段启用动力回收系统,把机械能转化为电能,回收效率为30%,则该段小汽车还能滑行多远?

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