Question

7．如图1所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5T，其方向垂直于倾角θ=30°的斜面向上．绝缘斜面上固定有“V”字形的光滑金属导轨MON（电阻忽略不计），MO和NO长度均为S=2.5m，MN连线水平，MN两点间距离为D=3m，P为MN的中点，以O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox，一根粗细均匀的金属杆CD，长度d=3.0m，质量m=1kg，电阻R=0.3Ω，在拉力F的作用下，从O处以恒定速度v=1m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好），g取10m/s²．
（1）求金属杆CD运动到x=0.8m处时，金属杆中电流强度的大小和方向；
（2）推导金属杆CD从O处运动到MN处过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图2中画出F-x关系图象；
（3）求金属杆CD从O点运动到MN处的全过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）导体棒切割磁感线产生感应电动势，由几何关系求得x=0.8m处的电动势，由欧姆定律求出感应电流，由右手定则判断出电流方向；
（2）应用E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出拉力F，最后作出图象；
（3）当导体棒匀速运动，由有效长度可列出安培力大小关于向上运动位移的表达式，根据安培力与位移成线性关系，可利用安培力平均值来求出产生焦耳热．

解答 解：（1）设∠PON=α，由题意可知：sinα=$\frac{PN}{ON}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2.5}$=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=0.75，
金属杆CD运动到x=0.8m处时切割磁感线的有效长度：L=2xtanα=1.2m，
此时产生的感应电动势：E=BLv=0.5×1.2×1=0.6V，
接入电路的电阻：r=$\frac{L}{d}$R=$\frac{1.2}{3}$×0.3=0.12Ω，
电路电流：I=$\frac{E}{r}$=$\frac{0.6}{0.12}$=5A，
由右手定则可知，感应电流方向为：由C流向D；
（2）金属棒切割磁感线的有效长度：L=2xtanα=1.5x，
金属棒接入电路的电阻阻值：r=$\frac{L}{d}$R=0.15xΩ，
感应电动势：E=BLv，
感应电流：I=$\frac{E}{r}$=$\frac{BLv}{r}$=$\frac{0.5×1.5x×1}{0.15x}$=5A，
金属棒受到的安培力：F_安=BIL=0.5×5×1.5x=3.75x，
金属棒做匀速直线运动，由平衡条件得：mgsinθ+F_安=F，
解得：F=5+3.75x，x=0时，F=5N，x=2m时，F=12.5N，F-x关系图象如图：

 （3）设导体棒经t时间沿导轨匀速向上运动的位移为x，
金属棒的最大位移：x=ONcosα=2m，
导体棒在导轨上运动时所受的安培力：F_安=3.75x，
因安培力的大小F_安与位移x成线性关系，故通过导轨过程中导体棒所受安培力的平均值：
$\overline{F}$=$\frac{0+3.75×2}{2}$=3.75N，
产生的焦耳热：Q=$\overline{F}$x=3.75×2=7.5J；
答：（1）金属杆CD运动到x=0.8m处时，金属杆中电流强度的大小为5A，方向：由C流向D；
（2）金属杆CD从O处运动到MN处过程中拉力F与位置坐标x的关系式为：F=5+3.75x，F-x关系图象如图所示；
（3）金属杆CD从O点运动到MN处的全过程中产生的焦耳热为7.5J．

点评 考查法拉第电磁感应定律，闭合电路欧姆定律，共点力平衡条件及安培力表达式．本题突破口：产生感应电流与导体棒有效长度无关，同时巧用安培力与位移成线性关系，由安培力平均值来求焦耳热．