Question

如图所示，地面和半圆轨道面均光滑，质量M=1kg、长L=4m的小车放在地面上，其右端与墙壁的距离S=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（可视为质点）以v₀=6m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s²．
（1）小车与墙壁碰撞前，小滑块会不会从小车上掉下来？
（2）讨论半圆轨道的半径R在什么范围内，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道？

Answer 1

分析：（1）中可用假设法根据动量守恒定律求出滑块与小车速度相同时的速度，再结合能量守恒定律即动能定理求出相应位移，从而比较可得结论．（2）中注意物块能到达竖直平面内最高点的最小速度条件是重力等于向心力，而到达

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4

圆弧T点的最小速度是0．

解答：解：（1）设滑块与小车的共同速度为v₁，滑块与小车相对运动过程中动量守恒，有：mv₀=（m+M）v₁
代入数据解得：v₁=4m/s
设滑块与小车的相对位移为L₁，由系统能量守恒定律，有：μmgL 1=

1

2

mv 0 2-

1

2

(m+M)v 1 2
代入数据解得：L₁=3m
设与滑块相对静止时小车的位移为S₁，根据动能定理，有：μmgS 1=

1

2

Mv 1 2-0
代入数据解得：S₁=2m
因L₁＜L，S₁＜S，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，小滑块不会从小车上掉下来．
（2）滑块将在小车上继续向右做初速度为v₁=4m/s，位移为L₂=L-L₁=1m的匀减速运动，然后滑上圆轨道的最低点P．
若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为：mg=m

v 2

R

            ①
根据动能定理，有：-μmgL 2-mg?2R=

1

2

mv 2-

1

2

mv 1 2                           ②
①②联立并代入数据解得：R=0.24m
若滑块恰好滑至

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4

圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．
根据动能定理，有：-μmgL 2-mg?R=0-

1

2

mv 1 2
代入数据解得：R=0.6m
综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足：R≤0.24m或R≥0.6m
答：（1）小车与墙壁碰撞前，小滑块不会从小车上掉下来．
（2）半圆轨道的半径R满足：R≤0.24m或R≥0.6m时，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．

点评：当遇到相互作用的问题时要想到运用动量守恒定律并结合能量守恒定律求解，当遇到竖直面内圆周运动问题时注意临界速度的求法．该题还要注意对滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道的情景分析．