Question

17．如图所示，某工厂要把货物（可视为质点）由斜面的顶端运送到底端，为保证货物的安全，斜面上光滑区域与粗糙区域（粗糙程度相同）交替出现，各区域宽度均相等，已知斜面长为L，倾角为θ．货物从斜面顶端A点由静止释放，到达斜面底端B点时速度恰好为零，整个过程运动时间为t．求：
（1）货物与粗糙面间的动摩擦因数；
（2）每段光滑区域的宽度．

Answer 1

分析 （1）对全过程由动能定理列式可求得动摩擦因数；
（2）要保证货物到达底部的速度为零，由题意可知，只能是在光滑面上加速，在粗糙面上减速，且到达下一下光滑面上速度恰好为零；对其中一个光滑面进行分析，由牛顿第二定律及运动学公式可求得其宽度．

解答 解：（1）全过程用动能定理
mgLsinθ-μmg$\frac{L}{2}$cosθ=0
解得：μ=2tanθ
（2）据题意，可设斜面有n个光滑区域，n个粗糙区域，货物在每个区域运动的时间为t′
每一光滑面的长度x=$\frac{L}{2n}$
经过的时间t′=$\frac{t}{2n}$
由牛顿第二定律可知：
a=gsinθ
由位移公式可知：
x=$\frac{1}{2}$a（t′）²
解得  x=$\frac{2{L}^{2}}{{t}^{2}gsinθ}$
答：（1）货物与粗糙面间的动摩擦因数为2tanθ；
（2）每段光滑区域的宽度为$\frac{2{L}^{2}}{{t}^{2}gsinθ}$．

点评 本题考查牛顿第二定律的综合应用，解题的关键在于明确题意，能分析出物体真实的运动过程，再由运动学公式及牛顿第二定律求解即可．