Question

19．在直角坐标系中有P，Q两点，坐标如图所示，虚线是以原点为圆心的半圆，半圆与x轴围成的区域只存在垂直纸面向外的匀强磁场．大量的同种粒子从P点射入磁场，速度方向均在xy平面内，与轴正方向的夹角分布在0-180°范围内，粒子在磁场做圆周运动的半径R满足l≤R≤2l，所有粒子均不从半圆虚线边界射出．已知粒子质量为m（重力不计），带电量为q（q＞0），磁感应强度大小为B．
求：（1）经过Q点时速度方向与y轴垂直的粒子的速度大小．
（2）求虚线半圆的最小半径和从P点运动到Q的粒子中运动时间的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先作出轨迹图，由几何关系求出半径，再根据安培力提供向心力，求出经过Q点时速度方向与y轴垂直的粒子的速度大小；
（2）虚线半圆的最小半径就是粒子以最大半径入射时与半圆相切时的半径，从P点运动到Q的粒子中运动时间的最大值就是对应圆心角最大的时间，运动时间最小值就是对应圆心角最小的时间；

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
从甲图中可知：$R=\frac{l}{cos30°}$
解得v=$\frac{2\sqrt{3}qBl}{3m}$；
（2）当粒子以最大半径R=2l向x轴负方向发出打得粒子刚好与半圆相切时，虚线半圆的半径最小
由乙图的几何关系知：l²+R²=（r-R）²
解得：虚线半圆的最小半径r=$（2+\sqrt{5}）l$
带电粒子在磁场中运动的周期$T=\frac{2πR}{v}$
从P点运动到Q点的粒子运动时间${t}_{1}=\frac{θ}{360°}T$（其中θ为PQ运动轨迹对应的圆心角）
从图丙中可知：以O₃位圆心的粒子，圆心角最大，运动时间最长
由几何关系可知半径$R=\frac{2\sqrt{3}}{3}l$，且满足l＜R＜2l
由丙图可知圆心角θ=240°
则从P点运动到Q的粒子运动时间最长为${t}_{1}=\frac{4πm}{3qB}$
以Q₄为圆心的粒子圆心角最小，运动时间最短
半径R=2l
由丙图知圆心角θ为60°
则从P点运动到Q的粒子运动时间最短为${t}_{2}=\frac{πm}{3qB}$；
答：（1）经过Q点时速度方向与y轴垂直的粒子的速度大小为v=$\frac{2\sqrt{3}qBl}{3m}$； 
（2）虚线半圆的最小半径为r=$（2+\sqrt{5}）l$；从P点运动到Q的粒子中运动时间的最大值为${t}_{1}=\frac{4πm}{3qB}$，最小值为${t}_{2}=\frac{πm}{3qB}$．

点评 本题关键是按照解决带电粒子在运动的一般步骤，找圆心，确定半径，画轨迹．寻找临界条件，求出虚线半圆的最小半径和从P点运动到Q的粒子中运动时间的最大值和最小值．