Question

15．如图所示，细绳长L，吊一个质量为m的铁球（可视为质点），球离地的高度h=2L，当绳受到大小为2mg的拉力时就会断裂，绳的上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上，现让环与球一起以速度v=$\sqrt{gL}$，向右匀速运动，在A处环被挡住而立即停止，此时给铁球一个水平向右的恒力F=1.5mg的作用，A处离墙的水平距离也为L，已知L=0.4m，g=10m/s²，求在以后的运动过程中，
（1）球第一次碰撞点离墙角B点的距离是多少；
（2）球第一次碰撞点的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律得出环被挡住后小球所受的拉力，判断出绳子断裂，断裂后，小球做曲线运动，将小球的运动分解为水平方向和竖直方向，结合牛顿第二定律和运动学公式分析出球第一次碰撞点在地面还是墙壁，结合运动学公式求出球第一次碰撞点离墙角B点的距离．
（2）根据速度时间公式分别求出到达碰撞点的水平分速度和竖直分速度，结合平行四边形定则求出球第一次到达碰撞点的速度．

解答 解：（1）到达A点时，对球分析，根据牛顿第二定律得：T-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：T=2mg，
可知绳子断裂．
球具有水平初速度，在竖直方向上做自由落体运动，在水平方向上做匀加速直线运动，假设球与地面碰撞，在竖直方向上有：L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：t=$\sqrt{\frac{2L}{g}}$，
水平方向上的加速度为：${a}_{x}=\frac{F}{m}=1.5g$
则水平位移为：x=$vt+\frac{1}{2}{a}_{x}{t}^{2}=\sqrt{gL}\sqrt{\frac{2L}{g}}+\frac{1}{2}×1.5g×\frac{2L}{g}$=$（\sqrt{2}+\frac{3}{2}）L＞L$，可知球第一次与墙壁碰撞．
根据L=$vt′+\frac{1}{2}{a}_{x}t{′}^{2}$得：t′=$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$，
则下降的高度为：$H=\frac{1}{2}gt{′}^{2}=\frac{1}{2}×g×\frac{4L}{9g}=\frac{2}{9}L$，
所以球第一次碰撞点离墙角B点的距离为：$△y=L-H=\frac{7}{9}L$．
（2）到达碰撞点时水平分速度为：${v}_{x}=v+{a}_{x}t′=\sqrt{gL}+1.5g×\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{g}}$=$2\sqrt{gL}$，
竖直分速度为：${v}_{y}=gt′=\frac{2}{3}\sqrt{gL}$，
根据平行四边形定则知，球第一次碰撞点的速度大小为：v=$\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{10gL}$．
答：（1）球第一次碰撞点离墙角B点的距离是$\frac{7}{9}L$；
（2）球第一次碰撞点的速度大小为$\frac{2}{3}\sqrt{10gL}$．

点评 本题是圆周运动与平抛运动的综合，运用假设法判断小球能否与墙碰撞．掌握处理曲线运动的方法，知道小球在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．