Question

14．如图所示，小物块A、B由跨过定滑轮的轻绳相连，A置于倾角为37°的光滑固定斜面上，B位于水平传送带的左端，轻绳分别与斜面、传送带平行．传送带始终以速度v₀=2m/s顺时针匀速传动，某时刻B从传送带左端以速度v₁=6m/s向右运动，经一段时间回到传送带的左端．已知A、B质量均为1kg，B与传送带间的动摩擦因数为μ=0.2，斜面、轻绳、传送带均足够长，A不会碰到定滑轮，定滑轮的质量与摩擦均不计．g取10m/s²，sin37°=0.6．求：
（1）B向右运动的总时间t；
（2）B回到传送带最左端时物体A的重力的功率P．（计算结果可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）B向右运动的过程中分别以A与B为研究的对象，结合牛顿第二定律先求出加速度，然后由运动学的公式求出运动的时间；
（2）B向左运动的过程中B为研究的对象，结合牛顿第二定律先求出加速度，然后由运动学的公式求出B回到传送带左端的速度，再由P=Fv即可求出功率．

解答 解：（1）B向右运动减速运动的过程中，刚开始时，B的速度大于传送带的速度，以B为研究的对象，水平方向B受到向左的摩擦力与A对B的拉力，设AB之间绳子的拉力为T₁，以向左为正方向，得：T₁+μmg=ma₁…①
以A为研究的对象，则A的加速度的大小始终与B是相等的，A向上运动的过程中受力如图，则：

mgsin37°-T₁=ma₁…②…
联立①②可得：${a}_{1}=\frac{gsin37°+μg}{2}=\frac{10×0.6+0.2×10}{2}=4m/{s}^{2}$…③
B的速度与传送带的速度相等时所用的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{-2-（-6）}{4}=1s$
当B的速度与传送带的速度相等之后，B仍然做减速运动，而此时B的速度小于传送带的速度，所以受到的摩擦力变成了向右，所以其加速度也发生了变化，此后B向右运动减速运动的过程中，设AB之间绳子的拉力为T₂，以B为研究的对象，水平方向B受到向右的摩擦力与A对B的拉力，则：
T₂-μmg=ma₂…④
以A为研究的对象，则A的加速度的大小始终与B是相等的，A向上运动的过程中受力如图，则：
mgsin37°-T₂=ma₂…⑤
联立④⑤可得：${a}_{2}=\frac{gsin37°-μg}{2}=\frac{10×0.6-0.2×10}{2}=2m/{s}^{2}$
当B向右达到最右端时的速度等于0，再经过时间：${t}_{2}=\frac{0-{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{0-（-2）}{2}=1s$
B向右运动的总时间：t=t₁+t₂=1s+1s=2s
（2）B向左运动的过程中，受到的摩擦力的方向仍然向右，仍然受到绳子的拉力，同时，A受到的力也不变，所以它们受到的合力不变，所以B的加速度${a}_{3}={a}_{2}=2m/{s}^{2}$
t₁时间内B的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{-2-6}{2}×1=-4m$，负号表示方向向右；
t₂时间内B的位移：${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+0}{2}{t}_{1}=\frac{-2}{2}×1=-1m$，负号表示方向向右；
B的总位移：x=x₁+x₂=-4-1=-5m
B回到传送带左端的位移：x₃=-x=5m
速度：$v=\sqrt{2{a}_{3}{x}_{3}}=2\sqrt{5}m/s$
对A物体，重力的功率：P=mgvsin37°
代入数据解得：$P=12\sqrt{5}W$
答：（1）B向右运动的总时间为2s；
（2）B回到传送带左端时物体A的重力的功率为$12\sqrt{5}$W．

点评 该题中，开始时物体的速度大于传送带的速度，减速后的速度小于传送带的速度，所以传送带大于物体摩擦力的方向是不同的，则物体的加速度会发生变化．这是题目中容易错误的地方．开始时物体的速度大于传送带的速度，减速后的速度小于传送带的速度，所以开始时物体相对于传送带向右运动，之后物体相对于传送带向左运动，难度适中．