Question

2．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一根光滑的细钉，已知OP=$\frac{1}{2}$L，在A点给小球一个水平向左的初速度v₀，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，则：
（1）若不计空气阻力，则初速度v₀多大？
（2）若初速度v₀=4$\sqrt{gL}$，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）最高点B临界情况是绳子的拉力等于零，由重力提供圆周运动所需的向心力，根据牛顿第二定律求出小球到达B点的速度．取A到B过程为研究过程，运用动能定理或机械能守恒定律求出初速度．
（2）取A到B过程为研究过程，运用动能定理求出该过程中克服空气阻力所做的功．

解答 解：（1）小球恰能到达最高点B，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{2}}$，得：v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$；
小球从A点运动到B点的过程中只有重力做功，机械能守恒，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mg$•\frac{3}{2}$L
得：v₀=$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$
（2）考虑空气阻力，对A到B过程运用动能定理，有：
-mg$•\frac{3}{2}$L+W_f=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${W_f}=-\frac{25mgL}{4}$，所以小球克服空气阻力做的功为$\frac{25mgL}{4}$．
答：（1）若不计空气阻力，则初速度v₀为$\sqrt{\frac{7gL}{2}}$．
（2）若初速度v₀=4$\sqrt{gL}$，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做功为$\frac{25mgL}{4}$．

点评 运用动能定理解题关键确定好研究的过程，判断在该过程中有哪些力做功，然后列表达式求解．要知道动能定理是求变力做功常用的方法．