Question

9．如图所示，A，B两物块叠放在竖直轻弹簧上，已知物块A，B质量分别为5kg和3kg，弹簧的劲度系数k=200N/m，现在物块B上作用一个竖直向上的力F，使A，B由静止开始竖直向上做匀加速运动，经过$\frac{\sqrt{10}}{10}$s，外力F不在发生变化，取g=10m/s²，求：
（1）物块A，B竖直向上做匀加速运动的过程中，力F的最小值；
（2）请作出外力F随位移x的变化图象，取静止时位置为位移0点，规定竖直向上为正方向（不需要写出推导过程）；
（3）从A，B由静止开始运动到A，B恰好分离的过程中，弹簧弹性势能的变化量．

Answer 1

分析 （1）对物块A、B整体，运用胡克定律和牛顿第二定律即可求解力F的最小值；
（2）根据功能关系列式，得到F与x的关系式，再画出F-x图象；
（3）以A、B和弹簧作为一个整体，由功能关系求解弹簧弹性势能的变化量．

解答 解：（1）对物块A、B整体，根据牛顿第二定律可得：
    F-（m_A+m_B）g+F_弹=（m_A+m_B）a，
得 F=（m_A+m_B）g-F_弹+（m_A+m_B）a
当F_弹最大时，F最小，
即刚开始时，F最小，此时，F_弹=（m_A+m_B）g，所以F的最小值为 F_min=（m_A+m_B）a
初始位置弹簧的压缩量为：x₁=$\frac{（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{k}$=$\frac{（5+3）×10}{200}$=0.4m
A、B分离时，AB间作用力为0，以A为研究对象可得：
    kx₂-m_Ag=m_Aa
A、B上升的高度为：h=x₁-x₂．
由运动学公式得：h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立解得 a=2m/s²，x₂=0.3m，F_min=16N．
（2）A、B匀加速上升过程有 F-（m_A+m_B）g+F_弹=（m_A+m_B）a，F_弹=k（x₁-x）
可得 F=（200x+16）N
当x=h=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}$=0.1m时，F=36N
故F-x图象如图．
（3）A、B恰好分离时的速度为 v=at=$\frac{\sqrt{10}}{5}$m/s
由于F随x作线性变化，则F做功为 W=$\overline{F}$x=$\frac{16+36}{2}$×0.1=2.6J
对整个系统，由功能关系得：
  W=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}^{2}$+（m_A+m_B）gh+△E_p
解得，弹簧弹性势能的变化量△E_p=-7J
答：（1）物块A，B竖直向上做匀加速运动的过程中，力F的最小值是16N．
（2）如图．
（3）弹簧弹性势能的变化量是-7J．

点评 分析清楚物体运动过程，把握能量是如何转化的是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用平衡条件、牛顿第二定律、运动学公式与功能关系即可正确解题．