Question

一倾角为的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h₀=1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m=0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数u=0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g=10 m/s²。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

Answer 1

解法一：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。由功能关系得

                     ①

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量

                                   ②

设碰撞后小物块所能达到的最大高度为，则

                    ③

同理，有

                   ④

                                 ⑤

式中，为小物块再次到达斜面底端时的速度，为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③④⑤式得

                                          ⑥

式中

                                   ⑦

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

                         ⑧

总冲量为

              ⑨

由

                        ⑩

得

                   

代入数据得

    I=0.4(3+)N·s                         

解法二：设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得

                         ①

设小物块与挡板碰撞前的速度为v，则

                                     ②

以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为

                                   ③

由①②③式得

                           ④

设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为，依牛顿第二定律有

mgsin+umgcos= m                            ⑤

小物块沿斜面向上运动的最大高度为

                                          ⑥

由②⑤⑥式得

h′=k²h                                                               ⑦

式中

                                                                                     ⑧同理，小物块再次与挡板碰撞所获得的冲量

I′=2m                                                              ⑨

由④⑦⑨式得

I′=kI                                                       ⑩

由此可知，小物块前4次与挡板碰撞所获得的冲量成等比级数，首项为

I₁=2m                                     

总冲量为

               I=I₁+ I₂ +I₃+I₄= I₁（1+k+k²+ k³）                                 

由

 1+k+k²+…+k^n-1=                                 

得

                              

代入数据得

       I=0.4(3+)N·s