Question

11．光滑的$\frac{1}{4}$圆弧轨道固定在竖直平面内，与水平轨道CE连接．水平轨道的CD段光滑、DE段粗糙．一根轻质弹簧一端固定在C处的竖直面上，弹簧处于自然长度另一端恰好在D点．将质量为m的物块从顶端F点静止释放后，沿圆弧轨道下滑．物块滑至D点后向左压缩弹簧．已知圆弧轨道半径为R，$\overline{DE}$=L，物块与DE段水平轨道的动摩擦因数为μ=0.2，重力加速度为g，物块可视为质点．求：
（1）物块第一次经过E点时对圆弧轨道的压力多大
（2）若物块不能与弹簧相碰，设物块从E点到运动停止所用的时间为t，求R得取值范围及t与R的关系式．
（3）如果物块能与弹簧相碰，但不能返回道圆弧部分，设压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为E_p，求R的取值范围及E_p与R的关系式（弹簧始终在弹性限度内）．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出物块第一次经过E点时的速度．物块经过E点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿运动定律求解物块第一次经过E点时对轨道的压力．
（2）设物块恰好不能与弹簧相碰时，圆弧轨道半径为R₁，从F到D由动能定理有：mgR₁-μmgL=0-0解得：R₁=0.2L，则物块不能与弹簧相碰R必须满足：R＜0.2L
（3）物块要能与弹簧相碰，R≥0.2L，设物块恰好到达E点时，圆弧轨道半径为R₂，从F到E由动能定理求范围．

解答 解：（1）从F到E对物块由动能定理有：
$mgR=\frac{1}{2}mv_E^2$
解得${v_E}=\sqrt{2gR}$
在E点对物块由牛顿第二定律有：
${N_E}-mg=m\frac{v_E^2}{R}$
解得N_E=3mg
由牛顿第三定律有：F_E=3mg
（2）设物块恰好不能与弹簧相碰时，圆弧轨道半径为R₁
从F到D由动能定理有：
mgR₁-μmgL=0-0
解得：R₁=0.2L
则物块不能与弹簧相碰R必须满足：R＜0.2L
对物块由牛顿第二定律有：
μmg=ma解得a=μg
则物块从E点到运动停止所用的时间为
$t=\frac{{0-{v_E}}}{-a}=5\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（3）由（2）可知物块要能与弹簧相碰，R≥0.2L
设物块恰好到达E点时，圆弧轨道半径为R₂
从F到E由动能定理有：
mgR₂-μmg•2L=0-0
解得：R₂=0.4L
则R的范围是：0.2L≤R≤0.4L
从F点到弹簧压缩得最短，对物块与弹簧组成的系统，由能量守恒定律有：
-μmgL=E_P-mgR解得
E_P=mgR-0.2mgL
答：（1）物块第一次经过E点时对圆弧轨道的压力3mg（2）若物块不能与弹簧相碰，R＜0.2L，t=$5\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（3）如果物块能与弹簧相碰，但不能返回道圆弧部分，R的取值范围0.2L≤R≤0.4L
E_p与R的关系式E_P=mgR-0.2mgL

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理，对学生能力的要求较高．要注意物体恰好不能回到圆轨道的条件．