Question

6．如图所示，等重的两小木块由一根不可伸长的轻绳相连，放在倾角为α的斜面上．两木块与斜面的静摩擦因数分别是μ₁，μ₂，已知μ₁＞μ₂，tanα=$\sqrt{{μ}_{1}•{μ}_{2}}$，求绳子与斜面上的最大倾斜线之间的夹角θ应满足什么限制，它们才能在斜面上保持静止．

Answer 1

分析 系统处于平衡状态时，两木块也分别处于平衡状态．对两木块进行受力分析，利用平衡条件解答．

解答 解：当两物体连线与最大倾斜线垂直时，系统处于平衡时，2物体不可能平衡，当当两物体连线与最大倾斜线平行时两物体一定静止，这是因为：μ₁mgcosα+μ₂mgcosα=（μ₁+μ₂）mgcosα，又有tanα=$\sqrt{{μ}_{1}•{μ}_{2}}$，所以${μ}_{1}mgcosα{+μ}_{2}mgcosα≥2\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}mgcosα$=2mgsinα
（1）在斜面所在平面内分析2物体，2物体所受重力沿斜面向下的重力的分力为mgsinα是定值，以O为圆心，以所受静摩擦力为圆心作图，远的半径必定小于OC，要保证2 物体静止，她所受摩擦力不可能大于最大静摩擦力，当达到最大静摩擦力且与MN成角度θ₀最大，此时sinθ₀=$\frac{{μ}_{2}mgcosα}{mgsinα}$=${μ}_{2}cotα=\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$．在这种情况下，如果1物体所受的摩擦力小于其最大静摩擦力，则线与最大倾斜线的最大夹角为θ₀，如果1物体所受的 摩擦力大于其最大静摩擦力则线与最大倾斜线的夹角小于θ₀．此种情况下，1物体受力图如下图所示，线对1物体和对2物体的作用力大小相等，所以在做1物体所受的力时，可以在C下做与O对称的圆，AC与圆相交于B，BC可表示线对1物体的力，物体1与物体2沿着斜面的分力相等，所以在下图中将物体2 的受力图作在图1 的左边，与物体2的受力图共用一边，则线的弹力为：
${T}_{0}\sqrt{{（mgsinα）}^{2}{-μ}_{1}mgcosα}$=mgcosα$\sqrt{{{μ}_{2}μ}_{1}{-μ}_{2}^{2}}$
物体1所受的摩擦力为：f₁₀=$\sqrt{{T}_{0}^{2}{+（mgsinα）}^{2}+{2T}_{0}mgsinαco{s}_{θ0}}$
整理上式得：${f}_{10}^{2}{=（mgcosα）}^{2}（{{4μ}_{1}μ}_{2}-{3μ}_{2}^{2}）$
已知物体1所受的最大静摩擦力为f_1m=μ₁mgcosα
当f₁₀≤f_1m时，即μ₁≥3μ₂时，最大角$θ=arcsin\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$
当f₁₀＞f_1m时，即μ₁＜3μ₂时，最大夹角另行求解．
（2）当两物体同时达到最大静摩擦力时，（不可能出现1物体达到最大静摩擦力而2物体没有达到最大静摩擦力的情况）这种情况与第一种情况相似，如下图2 所示，在力三角形△ACO与△CBO中，可得，
${{（μ}_{2}mgcosα）}^{2}{=（mgsinα）}^{2}{+T}^{2}-$2mgsinαTcosθ₁
${{（μ}_{1}mgcosα）}^{2}{=（mgsinα）}^{2}{+T}^{2}$+2mgsinαTcosθ₁
两式相加得，${T}^{2}=\frac{1}{2}{（μ}_{1}^{2}{+μ}_{2}^{2}{）（mgcosα）}^{2}$-（mgsinα）²，又有tan$α=\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}$
则T=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mgcosα（μ₁-μ₂）
两式相减得，4mgsinαTcosθ=${{（μ}_{1}}^{2}{-μ}_{2}^{2}{）（mgcosα）}^{2}$，
将T带入，结合tan$α=\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}$
所以，cosθ=$\frac{\sqrt{2}{（μ}_{1}{-μ}_{2}）}{4\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}}$
综上所述，当μ₁≥3μ₂时，最大夹角为θ=arcsin$\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$
当μ₁＜3μ₂时，最大夹角为θ=arccos$\frac{\sqrt{2}{（μ}_{1}{-μ}_{2}）}{4\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}}$

点评 本题的思维过程复杂，数学运算量大，属于难题，建议一般学生不必追求能解，高考一般考不到．