Question

3．如图为一水平传送带装置的示意图．传送带的左端与光滑曲面轨道平滑连接，右端与光滑圆轨道相切，MN是圆轨道的一条竖直直径，将一质量m=1kg的小物块乙轻轻放在传送带上距B点2m处的P点，质量也为m=1kg小物块甲置于距B点高度为h₁=5m的光滑曲面上的A点，当传送带静止时，让甲由静止下滑与静止在传送带上小物块乙发生弹性正碰，碰撞过程无能量损失，碰撞后乙恰好能到达光滑圆轨道上的最高点N，已知圆轨道半径r=0.4m，两小物块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）传送带的长度；
（2）若将乙物体置于传送带的最左端B点，让甲物体从光滑曲面上高度为h₂=0.2m处由静止下滑，然后与乙在B点发生弹性正碰，碰撞后传动带立即以某速度顺时针运动起来，要使小物块乙能滑上圆形轨道到达圆轨道右半侧上的Q点，且小物块在圆形轨道上不脱离轨道，若Q点距M点高度为0.2m，求传送带的运动速度范围．

Answer 1

分析 （1）应用动能定理可以求出传送带的长度．
（2）应用匀变速直线运动规律与动能定理、牛顿第二定律求出传送带的速度，然后确定其范围．

解答 解：（1）甲、乙质量相同，发生弹性碰撞，由动量守恒定律与机械能守恒定律可知，
碰撞后两者交换速度，因此整个过程可以等效为甲静止下滑恰好到N点，
设传送带的长度为L，由动能定理得：mg（h-2r）-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_N²-0，代入数据解得：L=8m；
（2）设传送带的速度为v₀，由题意可知，碰撞前甲的速度：v_甲=$\sqrt{2g{h}_{2}}$=2m/s，
由题意可知，乙能过Q点，如果乙恰好能到Q，
由动能定理得：mgh₂=$\frac{1}{2}$mv₁²，解得：v₁=2m/s，
如果乙恰能到与圆心等高的D点，物体经过M点的速度为v₂，
由动能定理得：mgr=$\frac{1}{2}$mv₂²，解得：v₂=2$\sqrt{2}$m/s，
如果物体恰好能通过最高点，在N点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{r}$，v_N=$\sqrt{gr}$，
设在M点的速度为v_M，由动能定理得：2mgr=$\frac{1}{2}$mv_M²-$\frac{1}{2}$mv_N²，解得：v_M=$\sqrt{10}$m/s；
碰撞后乙的速度v₂=2m/s，因此乙在传送带上只能做匀速运动或加速运动就能通过Q点且不脱离轨道，
因此传送带的速度满足：2m/s≤v₀≤2$\sqrt{2}$m/s，或v₀≥$\sqrt{10}$m/s；
答：（1）传送带的长度为8m；
（2）传送带的运动速度范围是：2m/s≤v₀≤2$\sqrt{2}$m/s，或v₀≥$\sqrt{10}$m/s．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用动能定理与运动学公式、牛顿第二定律可以解题，解题时要注意讨论．